【１０】種数ｇのトーラス面上の正則平面グラフ

　Ｋvが平面的であるならば，ｑ＝ｖ−１，ｅ＝ｖ（ｖ−１）／２．

　　ｆ＝２−２ｇ＋ｅ−ｖ＝２−２ｇ＋ｖ（ｖ−１）／２−ｖ

また，各面は少なくとも３つの辺をもたなければならないから，

　　３（２−２ｇ＋ｖ（ｖ−１）／２−ｖ）＝３ｆ≦２ｅ＝ｖ（ｖ−１）

　正則平面グラフであるためには

　　３（２−２ｇ＋ｖ（ｖ−１）／２−ｖ）＝ｖ（ｖ−１）

　　ｇ＝（ｖ−３）（ｖ−４）／１２

　この方程式には解が無数にあるが，

　　ｇ＝０　→　Ｋ4

　　ｇ＝１　→　Ｋ7

　　ｇ＝６　→　Ｋ12

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１１】ヒーウッドの公式

［１］球面上のＫ4

［２］トーラス面上のＫ7

［３］種数６表面上のＫ12

は，ヒーウッドの公式「ｇ個の穴があいているトーラス上の地図はどれも

　　Ｈ（ｇ）＝［｛７＋√（１＋４８ｇ）｝／２］

色で塗り分けられる」に対応したものである．

　　ｇ＝（ｖ−３）（ｖ−４）／１２

　　ｖ^2−７ｖ＋１２−１２ｇ＝０

　　ｖ＝［｛７＋√（１＋４８ｇ）｝／２］

　以下，

　　ｇ＝１１　→　Ｋ15

　　ｇ＝１３　→　Ｋ16

　　ｇ＝２０　→　Ｋ19

　　ｇ＝３５　→　Ｋ24

　　ｇ＝４６　→　Ｋ27

　　ｇ＝５０　→　Ｋ28

　　ｇ＝６３　→　Ｋ31

　　ｇ＝８８　→　Ｋ36

と続く．１＋４８ｇ型の平方数は無数にあるのだろう．ともあれ，彩色数はオイラー標数とは別の表面の不変量なのである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝