球の充填および接触数の問題はヒルベルトの第１８問題として取り上げられたものですが，前者は大域的なものであり，後者は局所的な問題と考えられます．そして，半径の等しい球をｎ次元ユークリッド空間Ｒ^nに効率的に詰め込む問題のなかでも３次元空間の球の充填問題は「ケプラー問題」と呼ばれるものですが，この問題は１９９８年にトマス・ヘールズによって解決されました．

　ガウスは球を規則正しく並べるという条件つきでケプラー予想「キャノンボール・パッキングよりも密度の高い３次元パッキングは存在しない」が成り立つことを証明したのですが，不規則な並べ方まで含めてあらゆる場合に成り立つことはそう簡単には証明できないのです．多くの場合，最密充填は整然とした格子によってもたらされるのですが，次元によっては最大接触数が一見ランダムな配置によって実現する場合もあるので問題は複雑なのです．

　ともあれ，ヘールズの証明により「キャノンボール・パッキングよりも密度の高い３次元パッキングは存在しない」ことになるのですが，ランダムな配置まで含めても，面心立方格子が３次元空間における最密充填構造だというケプラー予想は，４００年近く経ってやっと定理に昇格したことになります．

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