【４】彩色数とヒーウッドの公式

　　Ｈ（ｇ）＝［｛７＋√（１＋４８ｇ）｝／２］

と同値な

　　Ｈ（χ）＝［｛７＋√（４９−２４χ）｝／２］

を紹介します．オイラー標数χの閉曲面（向きづけられるか否かは不問）上の地図は，辺で境される国を別の色で塗るという条件下において，ヒーウッドの数

　　Ｈ（χ）＝［｛７＋√（４９−２４χ）｝／２］

色あれば塗り分けられるというものです（十分条件）．（［・］は切り捨て）．

　実際の彩色数に対して

　　Ｎ（Ｓ）＝４，Ｎ（Ｐ）＝６，Ｎ（Ｔ）＝７，Ｎ（Ｋ）＝６

ヒーウッド数は

　　Ｈ（Ｓ）＝４，Ｈ（Ｐ）＝６，Ｈ（Ｔ）＝７，Ｈ（Ｋ）＝７

なので，クラインの壷では一致しません．しかし，クラインの壷以外のすべての向き付け可能・不可能な曲面に対して，彩色数はヒーウッドの公式で与えられます．たとえば，

　　χ（３Ｐ）＝−１　　　　→　Ｈ（３Ｐ）＝７

　　χ（２Ｔ／４Ｐ）＝−２　→　Ｈ（２Ｔ／４Ｐ）＝８

　　χ（５Ｐ）＝−３　　　　→　Ｈ（５Ｐ）＝９

　　χ（３Ｔ／６Ｐ）＝−４　→　Ｈ（３Ｔ／６Ｐ）＝９

　　χ（７Ｐ）＝−５　　　　→　Ｈ（７Ｐ）＝１０

［注１］この公式は本来χ＜０の場合にのみ有効である．ただし結果的にχ＝１（射影平面）とχ＝０で向きづけられる曲面（輪環面）では必要十分な正しい値（それぞれ６と７）を与える．χ＝２（球面）のときには４を与えるが，これは「偶然の一致」であって四色問題の解ではない（∵上の公式を導くときχ＜０という条件を本質的に使っている）．

［注２］これは十分条件であって，必要条件（どうしてもそれだけの色がいる）ではない．結果的にはχ＝０で向きづけられない曲面（クラインの壷）以外の曲面ではすべて正しく必要十分な色数を与えている．クラインの壷は唯一の例外で公式の値は７だが，実は６色で必要十分である．必要性は部分的（χの特別な値の例）には１９世紀末から知られていたが，最終的にはヤングスとリンゲルとが共同研究して１９６８年に完全に証明された．

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