■四色問題(その5)

 平面(球面)上のK3,3とK5は実現不可能,トーラス面上のK3,3とK5は実現可能ですが,同様にメビウスの帯の表面(射影平面)上にも描くことができます.

トーラス面上にK7を描くことはできますが,K8を描くことはできません.射影平面上にK6を描くことはできますが,K7を描くことはできません.・・・この辺の事情はいかに?

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【1】2次元多様体の分類定理(1)

 ゴム膜でできた長方形の4辺(または2辺)を適当に貼り合わせることを考えてみましょう.そして,長方形を時計回りに順に一周するようなラベルをつけることにします.すると,1組の対辺だけを向きを保ったまま貼り合わせる操作はa0a^(-1)0と書くことができます.a0a^(-1)0によって円環ができあがります.a0a0すなわち1組の対辺を向きを逆にして貼り合わせる操作によって,メビウスの帯ができあがります.円環の境界は2本の円周ですが,メビウスの帯の境界は1本の円周です.

 

同様に,abb^(-1)a^(-1)からは球面,aba^(-1)b^(-1)からは輪環面(トーラス),abab^(-1)からはクラインの壷,ababからは射影平面が得られます.クラインの壷と射影平面は3次元ユークリッド空間の中では描けませんが,4次元空間考えると自己交差なしに重ね合わせることができます.また,イメージするのは難しいのですが,射影平面はメビウスの帯と円板とを縁に沿って貼り合わせたものと同相です.

 円環,球面,輪環面は表から裏に行くことはありませんが,メビウスの帯,クラインの壷,射影平面では縁を越えることなしに曲面の裏側にたどりつきます.こういう面を向きづけ不可能な曲面といいます.

 これら6種類はすべて2次元多様体の例です.そして,コンパクトな2次元多様体はどんなものでも,円環,メビウスの帯,球面S,輪環面T,クラインの壷K,射影平面Pの6つのものを適当に連結和したものと同相になることが知られています.これが2次元多様体の分類定理ですが,3次元以上の多様体に関してはこのような分類定理は存在しません.

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