【２】六角形で球面が覆えるか？

　多面体には３角形か４角形面か５角形面が少なくとも１つなければならないことは簡単に証明できます．どの領域も少なくとも６つの領域で囲まれていると仮定すると

　　６ｆ≦２ｅ

また，このような問題を解くにあたっては，すべての交点で３本の境界線が会している地図だけを考えればよいので，

　　３ｖ≦２ｅ

　これらをオイラーの公式に代入すると

　　ｖ−ｅ＋ｆ≦１／３ｅ−ｅ＋２／３ｅ＝０≠２

となって矛盾を生じます．したがって，５個以下の隣接領域しかもたない領域が少なくともひとつあることになります．

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