【２】ポンスレーの定理

小円を大円の内部におく．大円上の点Ｐ0から小円へ接線を引き，大円と交わる点をＰ1とする．Ｐ1から再び小円へ接線を引き，大円と交わる点をＰ2とする．この２つの円の中間に次々に接する接線列を作る．たいていの場合，最後の交点は最初の点Ｐ0と重ならない．しかしときとして完全に重なる場合がある．このとき，最初の点Ｐ0をどこに選ぼうとも完全な多角形環をなす．

シュタイナーの定理とポンスレーの定理，２つの定理は円鎖が閉じるか接線多角形が閉じるかの違いだけで，内容的には類似した定理に感じられるかもしれない．しかし，シュタイナーの定理は円を円に写すメビウス変換ｗ＝（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ）により同心円の場合に帰着させて証明できるのに対して，ポンスレーの定理ではそれができない．その意味で 2つの定理は似て非なるものである．また，シュタイナーの定理の基底は2次式であったが，ポンスレーの定理では高次式になる．その意味では後者のほうが本質的に難問である．

２つの円が同心円のとき

外接円の半径:R

内接円の半径:r

とおくと，正ｎ角形ではR=rsec(π/n)，星形ｎ/ｍ角形ではR=rsec(mπ/n)が成り立つ．同心円でないとき，

外接円と内接円の中心間距離:d

とおく．

［１］任意の三角形は外心・内心をもつ．2心間の距離について，2次同次式:

R^2-2Rr=d^2

が成り立つ（オイラー）．

オイラーの関係式を導き出すことは見かけより厄介であるが，ポンスレーの定理を使えば簡単に導き出せる．オイラーの関係式を導き出せば，正三角形でない場合，直ちにR ≧ 2rがわかる．

［２］任意の三角形は外心と内心をもつが，四角形ではそうではない．しかし，双心四角形の場合，4次同次式:

2r^2(R^2+d^2)=(R^2-d^2）^2（フース）

が成り立つ

［３］双心五角形の基底は

　　d^6-2d^4rR+8d^2r^3R-3d^4R^24d^2r^2R^2

+4d^2rR^3+3d^2R^4+4r^2R^4-2rR^5-R^6=0

であり，

n=3: ３次同次式

n=4: 4次同次式

n=5: 6次同次式

n=6: 8次同次式

n=7: 12次同次式

n=8: 16次同次式

となる．

［４］また，星形ｎ角形では( r→ -r)と置き換える必要があり，星形五角形の基底は,

　　d^6+2d^4rR-8d^2r^3R-3d^4R^2-4d^2r^2R^2

-4d^2rR^3+3d^2R^4+4r^2R^4+2rR^5-R^6=0

で与えられる．

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[補]１９世紀に入って射影幾何額の原理を発見したのはポンスレーであった．ナポレオンのロシア遠征に従軍した彼は置き去りにされ，ロシア軍に捕らえられ，投獄された．獄中で射影法と円錐曲線の研究を始めたポンスレーは射影されたとき変化しない図形の性質，たとえば，共線や間隔と間隔の特殊な比率などをみつけた．これらは射影幾何学の基本となり，また，すべての円錐曲線は円の射影と考えられるから射影幾何学の研

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