【５】πの近似式

π＝３．１４１５９２６５３５８９・・・

の近似値として有名なのが

２２／７＝３．１４２８５７１４２８５７・・・（アルキメデス）

３５５／１１３＝３．１４１５９２９２０３５３・・・（祖沖之）

前者は学校でならって馴染みのある例ですが，後者ではさらに近似度が増しています．また，前者は６桁で循環，後者は１１２桁で循環しますが，πは無理数なので同じ数字の列が循環することはありません．

ラマヌジャンによるπの近似式としては

２π√２〜９９^2／１１０３

π^4〜９^2＋１９^2／２２

π〜６３（１７＋１５√５）／２５（７＋１５√５）

などがあります．π^4の連分数は，

　　π^4＝［９７：２，２，３，１，１６５３９，・・・］

ですから，ラマヌジャンはわざわざこれを対称性の高い形に書き直していることがわかります．

　　π^4〜９７＋９／２２＝９^2＋１９^2／２２

π^4〜２１４３／２２

　　２２π^4〜２１４３

　　２２π^4〜２１４３．００００１２７・・・

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　　ほかに，作図可能なπの近似式として，

［１］π＝（９＋３√５）／５

［２］π＝（９＋√９７）／６　

［３］π＝（１０＋√２２９）／４

［４］π^2＝（４０−６√３）／３

などがありますが，黄金比をφで表すと［１］は

２π／φ^2〜１２／５＝２．４ラジアン

と書くことができます．

ところで，植物では成長するにつれて葉にあたる日光の量が最大になるように，葉を茎にうまく配置する必要があります．上下の葉がぴったり重なっていたら，日光がまったくあたらなくなってしまうからです．最善の配置をもたらす角度は360°を1:φに黄金分割したものになっていて

360×1/(1+φ)= ２π／φ^2＝137.5°

この角度は「黄金角」と呼ばれます．１２／５＝２．４ラジアンはその近似値を与えてくれるのです．

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