■円周率(その2)

【2】東大入試問題から

ところで,2003年の東大入試問題に,

  π>3.05

を証明せよという問題が出題されたそうですが,もし高校生ならば,どれだけπの値を計算できるでしょうか?

半径1の円に正十二角形を内接させると,その周長は

  24sin15°

半角の公式を憶えていれば,直ちに,

  sin15°=(√6−√2)/4

を得ることができますが,すっかり忘れてしまったものとしましょう.しかし,心配はご無用です.普段使っている三角定規には2種類あり,辺の長さの比1:1:√2(角度は45°,45°,90°)と1:√3:2(角度は30°,60°,90°)ですが.後者の直角三角形の長さ√3の辺を斜辺の長さ2だけ延長させた1:2+√3:x(15°,75°,90°)の直角三角形に対して,ピタゴラスの定理を利用して

1^2+(2+√3)^2=x^2

より,sin15°=(√6−√2)/4を求めることができます.これより,

  π>3(√6−√2)=3.10583>3.1

を証明することができます.

同様に,半径1の円に正十二角形を外接させると,その周長は

  24tan15°

  tan15°=1/(2+√3)=2−√3

より,

π<12(2−√3)=3.21539

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