【３】無零調和級数の収束

［Ｑ］分母に０が含まれている項をすべて取り除けば無零調和級数は収束する．

［Ａ］１０^α-1と１０^αの間にある無零数の個数は９^α個だから，その間にある無零数の逆数の和は９^α／１０^α-1より小さい．したがって，

　　Σ１／ａ＜Σ９^α／１０^α-1＝９／（１−９／１０）＝９０

実際に，どこにも０がでてこない整数の逆数和は，収束はすごく遅いのですが，２３．１０３４５・・・に収束します．

　９抜きでも０抜きでも，どの１桁の数字を抜いても残った項は有限の値に収束するのです．さらにいうと１桁の数に限る必要はなく，どんな数を抜いても間引いた調和級数は収束します．９でも３１４１５９でも同じ理由から収束するのです．

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