公比が1/2の等比級数（幾何級数）

　１／１＋１／２＋１／４＋１／８＋・・・

は２に収束します．一方，調和級数

　１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・

が無限大に発散することは次のようにして容易に示すことができます．

１＝１

１／２＝１／２

１／３＋１／４＞１／４＋１／４＝１／２

１／５＋１／６＋１／７＋１／８＞１／８＋１／８＋１／８＋１／８＝１／２

・・・・・

したがって，

１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＞１＋１／２＋１／２＋１／２＋１／２＋・・・→∞

幾何級数と調和級数とは，だんだん小さくなる正の分数の足し算という点では似ていますが，後者ではちりが積もって山となるわけで，その無限の果てにあるものは全く異なります．

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【１】バーゼル問題

ここでは１８世紀にオイラーによって解決されたバーセル問題（ある無限級数和を求める研究）について紹介します．その無限級数とは

１／１2 ＋１／２2 ＋１／３2 ＋１／４2 ＋・・・＝？

興味をそそり胸をわくわくさせるのは，この無限級数がいったいどんな数値に収束するのかという点ですが，その前提として，この無限級数が収束することを示してみます．

（証）ｎ次部分和をＰn とすると，

Ｐn ＝１／１2 ＋１／２2 ＋１／３2 ＋・・・＋１／ｎ2

＜１＋１／１・２＋１／２・３＋・・・＋１／（ｎ−１）・ｎ＝２−１／ｎ＜２

より，単調増加数列｛Ｐn ｝は有界でｎ→∞のとき収束することがわかります．

Σ１／ｎ^2＜２を示すことができましたが，さらによい評価を与えてみたいと思います．

(証)　　Σ１／ｎ^2＜Σ１／（ｎ^2−１／４）

１／ｎ^2＜１／（ｎ^2−１／２^2）＝１／（ｎ−１／２）−１／（ｎ＋１／２）

＝Σ（２／（２ｎ−１）−２／（２ｎ＋１））

　これを１／２^2項以降で使うと

１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋１／５^2＋・・・

＜１／１^2＋１／（２−１／２）−１／（２＋１／２）＋１／（３−１／２）−（１／３＋１／２）＋・・・

＜１／１^2＋１／（２−１／２）＝５／３＜１．６７

　これを１／５^2項以降で使うと

　１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋１／５^2＋・・・

＜１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋１／（５−１／２）−１／（５＋１／２）＋１／（６−１／２）−（１／６＋１／２）＋・・・

＜１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋１／（５−１／２）＝７９／４８＝１．６４５８３・・・＜１．６５

１７２８年にベルヌーイはこの和が８／５に近いと述べ，その後，オイラーは何年もこの足し算にとりつかれ，大変な努力の末にこの値を求めました．オイラーが１７３６年に発見した結果はエレガントなだけでなく意外なものでした．

１／１2 ＋１／２2 ＋１／３2 ＋１／４2 ＋・・・＝π2 ／６

この無限級数の収束値がπ2 ／６であることをつきとめたとき，オイラーは平方数の逆数和のかなたに円周率が浮かび上がる不思議にとても感動したようです．この式の驚くべき点は自然数のみを含む級数の極限に円周率πが突然現れることです．実際，この足し算をいくら見つめても答えに円周率の現れそうな気配はまったくありません．

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