【３】５次方程式の根の公式

そこで，次の問題は５次方程式：

ａｘ5 ＋ｂｘ4 ＋ｃｘ3 ＋ｄｘ2 ＋ｅｘ＋ｆ＝０

の代数的解法，すなわち四則演算＋，−，×，÷と根号√， 3√， 4√，・・・によって解を求めることでした．いまから４世紀前の問題です．

５次方程式の根の公式に対してはオイラーやラグランジュなど多くの数学者が挑戦したのですが，だれ一人として成功しませんでした．ラグランジュは４次方程式と同様の方法を５次方程式に試みて失敗したのですが，じつはこれには正当な理由があり，そもそも不可能な問題であったのです．

一般に，ｎ次方程式：

ａn ｘn ＋ａn-1 ｘn-1 ＋・・・＋ ａ1 ｘ＋ａ0 ＝０

に対してｘ’＝ｘ＋an-1 ／ｎａn と変換するとｘn-1 の項が０である方程式に還元できます．ではもっと低次の項の係数を０にできないかと考えて，チルンハウスとその弟子たちは一般の５次方程式をｘ5 ＋ｐｘ＋ｑ＝０まで還元しました（チルンハウス変換）．ここで，ｐ＝０ならば−ｑの５乗根として根は求まるのですが，さらにｐ＝０にしようとすると，６次方程式を解く必要が生じて，問題がかえって難しくなってしまいました．

結局，１９世紀になってから，５次以上の一般代数方程式は代数的に（四則と累乗根によって）解けないことが，二人の若い数学者，アーベルとガロアによって否定的に解かれ，根の公式は存在しないことが証明されています．

肺結核に侵され不幸にして夭折した天才アーベル，そして当時の数学界に受け入れられなかった悲劇の天才ガロアはわずか２０才の１８３２年に決闘にたおれたことはあまりにも有名な悲話になっています．

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