■ディオファントス方程式(その3)

【3】マチアセビッチ

ところで,ロシア人のマチアセビッチにより,すべてのディオファントス方程式(不定方程式)の解の存否を判定するアルゴリズムは存在しないことが証明されています.

Nを3つの立方数の和と差で表す問題の場合,N=1,2に対しては,1パラメータ恒等式

(9n^4)^3+(1−9n^3)^3+(3n−9n^4)^3=1

(1+6n^3)^3+(1−6n^3)^3+(−6n^2)^3=2

が知られていますが,一般に3変数以上のディオファントス方程式を解く有力な方法はまったく見つかっていません.Nを3つの立方数の和と差で表す問題は難しく,たとえば,x3 +y3 +z3 =3が

1^3+1^3+1^3=3

  4^3+4^3+(−5)^3=3

すなわち(1,1,1),(4,4,−5)とその並び換え以外の整数解をもつかどうかわかっていませんでした.ところが・・・

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