実際に確かめてみましょう．

ａ1＝１，ｂ1＝１

　　ａn+1＝２ａn＋３ｂn

　　ｂn+1＝ａn＋２ｂn

を繰り返す．

［Ｑ］このとき，ａn／ｂn→？

［Ａ］

　ａ1＝１，ｂ1＝１，ａ1／ｂ1＝１

　ａ2＝５，ｂ2＝３，ａ2／ｂ2＝１．６６６６６６６

　ａ3＝１９，ｂ3＝１１，ａ3／ｂ3＝１．７２７２７２９

　ａ4＝７１，ｂ4＝４１，ａ4／ｂ4＝１．７３１７０７３

　ａ5＝２６５，ｂ5＝１５３，ａ5／ｂ5＝１．７３２０２６１

　ａ6＝９８９，ｂ6＝５７１，ａ6／ｂ6＝１．７３２０４９

　ａn／ｂn→√３

別法では

（２＋√３）^2＝７＋４√３

　　（２＋√３）^3＝２６＋１５√３

　　（２＋√３）^4＝９７＋５６√３

　　（２＋√３）^5＝３６２＋２０９√３

　　（２＋√３）^6＝１３５１＋７８０√３より，

√３＜１３５１／７８０

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【４】ディリクレの定理と鳩の巣原理

近似分数列｛ａn／ｂn｝で非常によく近似できる実数αについて

　　｜α−ａn／ｂn｜＜１／ｂn^2

が成立するならば，αは無理数です（ディリクレの定理）．

ディリクレの定理の証明は，引き出し論法あるいは鳩の巣原理と呼ばれるものから容易に導かれます．この原理はｎ個の巣箱にｎ＋１羽の鳩が入っているならば，ある巣箱には少なくとも２羽の鳩が入っていなければならないというものです．

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