【３】フェルマーの小定理の発見

　フェルマーは

［１］１^3−１，２^3−２，３^3−３，４^3−４，５^3−５，・・・はすべて３で割り切れる

［２］１^5−１，２^5−２，３^5−３，４^5−４，５^5−５，・・・はすべて５で割り切れる

［３］１^7−１，２^7−２，３^7−３，４^7−４，５^7−５，・・・はすべて７で割り切れる

という整除性に気づきました．たとえば，ｎ^7−ｎが７で割り切れることを示してみます．

(証明)

［１］ｐ＝２のとき

　　ｎ^2−ｎ＝ｎ（ｎ−１）

連続する２つの整数の積は２の倍数なので，ｎ^2−ｎは２の倍数となり，ｎ^2とｎを２で割ったときの余りは等しい．

［２］ｐ＝３のとき

　　ｎ^3−ｎ＝（ｎ＋１）ｎ（ｎ−１）

連続する３つの整数の積は３の倍数なので，ｎ^3−ｎは３の倍数となり，ｎ^3とｎを３で割ったときの余りは等しい．

［３］ｐ＝５のとき

　　ｎ^5−ｎ＝ｎ（ｎ^4−１）＝ｎ（ｎ^2−１）（ｎ^2＋１）

＝ｎ（ｎ^2−１）（ｎ^2−４＋５）

＝（ｎ−２）（ｎ−１）ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）＋５ｎ（ｎ^2−１）

連続する５つの整数の積は５の倍数なので，ｎ^5−ｎは５の倍数となり，ｎ^5とｎを５で割ったときの余りは等しい．

［４］ｐ＝７のとき

　　ｎ^7−ｎ＝ｎ（ｎ^2−１）（ｎ^4＋ｎ^2＋１）＝ｎ（ｎ^2−１）｛（ｎ^2−４）（ｎ^2−９）＋１４ｎ^2−３５｝

＝（ｎ−３）（ｎ−２）（ｎ−１）ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）＋７（ｎ^2−１）（２ｎ^2−５）

連続する７つの整数の積は７の倍数なので，ｎ^7−ｎは７の倍数となり，ｎ^7とｎを７で割ったときの余りは等しい．

　しかし，２^9−２＝５１０は９で割り切れないので，このパターンはベキが９のとき成立しない．

［４］１^11−１，２^11−２，３^11−３，４^11−４，５^11−５，・・・はすべて１１で割り切れる

［５］１^13−１，２^13−２，３^13−３，４^13−４，５^13−５，・・・はすべて１３で割り切れる

以上のことから，フェルマーはベキが素数のとき，このパターンが成立することを発見しました．すなわち，ｐが素数のとき

［６］１^p−１，２^p−２，３^p−３，４^p−４，５^p−５，・・・はすべてｐで割り切れる

［補題］（ａ＋ｂ）^p＝ａ^p＋ｂ^p　　（ｍｏｄｐ）

　証明は帰納法による．

　　　ｎ^p＝ｎ　　　（ｍｏｄ　ｐ）

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【４】フェルマーの小定理の証明

補題より，

　　（ｘ＋１）^p＝ｘ^p＋１　　（ｍｏｄ　ｐ）

［１］ｘ＝１とおくと，

　　２^p＝２　　（ｍｏｄ　ｐ）

［２］ｘ＝２とおくと，

　　３^p＝２^p＋１＝３　　（ｍｏｄ　ｐ）

［３］以下，芋づる式に　　

　　ａ^p＝（ａ−１）^p＋１＝ａ　　（ｍｏｄ　ｐ）

が成り立つことが示される．

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