■メルセンヌ数(その1)

素数pに対して

  Mp=2^p−1

をメルセンヌ数をいいます.

[1]a^n−1が素数ならば,a=2かつnも素数である.

(証)

  a^n−1=(a−1)(a^n-1+a^n-2+・・・+a+1)

したがって,a=2でなければならない.また,n=kl(合成数)ならば

  2^kl−1=(2^k)^l−1=(2^k−1)((2^k)^l-1+(2^k)^l-2+・・・+2^k+1)

よりnは素数でなければならない.

[2]古代ギリシャ人はn=4,6,8,9,10,12のとき,2^n−1は素数ではなく,n=2,3,5,7のとき,2^n−1が素数になることを知っていました.

2^2−1=3  (素数)

2^3−1=7  (素数)

2^4−1=15  (非素数)

2^5−1=31  (素数)

  2^6−1=63  (非素数)

2^7−1=127  (素数)

  2^8−1=255  (非素数)

  2^9−1=511=7・73  (非素数)

  2^10−1=511=7・73  (非素数)

2^11−1=2047=23・89  (非素数)

  2^12−1=1023=3・341  (非素数)

  2^13−1=8191  (素数)

n=11の場合,素数でないこと

  2^11−1=2047=23・89

を発見したのは,ドイツの数学者レギウスでした(1536年).

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【1】メルセンヌ数の素因数

 フェルマーは非素数

  2^11−1=2047=23・89

2^23−1=8388607=47・178481

  2^37−1=137438953471=223・61631877

をもとにして、素因数の性質を発見しています.これらの素因数についてみると,

  23=2・11+1

  47=2・23+1

223=6・37+1

という関係がみえてきます.

[1]pを奇素数,qを素数とする

 2^q=1  (modp)ならば,p=1  (modq)である

すなわち,メルセンヌ数2^n−1が合成数であるならば,因数はあるkに対してkn+1である.

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