ラマヌジャンの数

　　１７２９＝１２^3＋１^3＝１０^3＋９^3＝７・１３・１９

は面白いが意外と厄介な数のようです．完全擬素数（カーマイケル数）でもあります．

［Ｑ］ｘ^3＋ｙ^3＝１７２９を満たす整数解（ｘ，ｙ）をすべて求めよ．

を整数論の立場から再考してみます．

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【１】アイゼンシュタインの整数環（１）

アイゼンスタインの整数

Ｚ［ω］＝｛ｍ＋ｎω｜ｍ，ｎは整数｝，ω＝（−１＋√−３）／２

には，６つの単数

　　±１，±ω，±ω^2

があり，正六角形の対称性をもつ三角格子をなします．単数を除いて，素因数分解の一意性が成立します．

２と６ｋ＋５型素数はＺ［ω］においても素数ですが，３と６ｋ＋１型の素数はＺで因数分解できます．

　　３＝（１−ω）（１−ω^2）＝（１＋ω）（１−ω）^2＝（１−ω）（２＋ω）

　　７＝（２−ω）（２−ω^2）

　　１３＝（３−ω）（３−ω^2）

　　１９＝（３−２ω）（３−２ω^2）

３７＝（４−３ω）（４−３ω^2）＝（４−３ω）（７＋３ω）

　　１７２９＝７・１３・１９

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【２】アイゼンシュタインの整数環（２）

［１］３次以上の多項式（不定方程式）には一般的な公式がなく，むしろ偶然の関係がものをいうようです．ｘ^3＋ｙ^3については虚３乗根ωを使って，

　　ｘ^3＋ｙ^3＝（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ωｙ）（ｘ＋ω^2ｙ）

と因数分解できます．

［２］ところが，７，１３，１９はいずれもアイゼンシュタインの整数Ｚ［ω］の体系の中では素数ではなく，

　　７＝（３＋ω）（３＋ω^2）

　　１３＝（４＋ω）（４＋ω^2）

　　１７＝（５＋２ω）（５＋２ω^2）

などと素因数分解されます．

［３］この組み合わせが多数生じるので，簡単にｘ，ｙを定める方程式を書き下せません（もちろん組み合わせは有限個ですから，全部の可能性を根気強く調べれば解を得ることは可能です）．

［４］この場合は偶然，

　　７・１３＝９１＝４^3＋３^3

　　７・１９＝１３３＝５^3＋２^3

　　１３・１９＝２４７は正の整数の３乗の和にならない

といった関係もありますし，結果的に

　　（１２＋ω）（１２＋ω^2）＝１３３＝７・１９

　　（１０＋９ω）（１０＋９ω^2）＝９１＝７・１３

が成立しています．そして（±ω，±ω^2など単数を調整する必要がありますが）

　　１２＋１＝１３

　　１２＋ω＝（５＋２ω）（３＋ω^2）

　　１２＋ω^2＝（５＋２ω^2）（３＋ω）→ｘ＝１２，ｙ＝１

　　１０＋９＝１９

　　１０＋９ω＝（−ω^2）（４＋ω）（３＋ω^2）

　　１０＋９ω^2＝（−ω）（４＋ω^2）（３＋ω）→ｘ＝１２，ｙ＝１

　　１２＋ω^2＝（５＋２ω^2）（３＋ω）→ｘ＝１２，ｙ＝１

が得られます．

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