関数ｆ（ｘ）＝ｘ^（ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^・・・）は区間［ｅｘｐ（−ｅ），ｅｘｐ（１／ｅ）］で定義されることをオイラーが示した．

ｅｘｐ（−ｅ）＝０．０６５９８８０３５８４・・・＜１

ｅｘｐ（１／ｅ）＝１．４４４６６７８６１００＞√２＞１

　したがって，

　ｘ^（ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^・・・）＝３はｘ^2＝３と書き変えることができない・・・というのは私の勘違いであった。

　ｘ^（ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^・・・）＝３はｘ^3＝３と書き変えることができる。

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ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^・・・＝mのとき，

ｘ^（ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^・・・）＝ｘ^m＝ｍ

と書き変えることができて

　　ｘ＝m^1/m　

［補題］関数ｙ＝ｘ^1/xを微分せよ．

ｌｏｇｙ=ｌｏｇｘ^1/x＝（ｌｏｇｘ）／ｘ

　　（（ｌｏｇｘ）／ｘ）’＝（1−ｌｏｇｘ）／ｘ^2

　　ｙ’＝ｙ（1−ｌｏｇｘ）／ｘ^2＝（１−ｌｏｇｘ＋１）ｘ^1/x-2

したがって，ｘ＝ｅのとき，最大値１．４４４６・・・をとる．

こうして，関数ｆ（ｘ）＝ｘ^（ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^・・・）は区間［ｅｘｐ（−ｅ），ｅｘｐ（１／ｅ）］で定義されることをオイラーが示しています．

ｅｘｐ（−ｅ）＝０．０６５９８８０３５８４・・・＜１

ｅｘｐ（１／ｅ）＝１．４４４６６７８６１００＞√２＞１

［補題］関数ｙ＝ｘ^xのｙ＝ｘ^xを微分せよ．

ｌｏｇｙ=ｌｏｇｘ^x＝ｘｌｏｇｘ

　　（ｘｌｏｇｘ）’＝ｌｏｇｘ＋１

　　ｙ’＝ｙ（ｌｏｇｘ＋１）＝（ｌｏｇｘ＋１）ｘ^x

したがって，ｘ^xは０＜ｘ＜１／ｅでは単調減少，ｘ＞１／ｅでは単調増加．ｘ＝１／ｅのとき，最小値（１／ｅ）^1/e＝ｅ^-1/e＝０．９６２２・・・をとる．また，ｔ・ｌｏｇｔはｔ→０のとき０となるから，

　　ｘ^x→１　　（ｘ→０）

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