■√2は無理数であるの裏の裏(その15)

 関数f(x)=x^(x^x^x^x^x^・・・)は区間[exp(−e),exp(1/e)]で定義されることをオイラーが示した.

exp(−e)=0.06598803584・・・<1

exp(1/e)=1.44466786100>√2>1

 したがって,

 x^(x^x^x^x^x^・・・)=3はx^2=3と書き変えることができない.

 x≦exp(1/e)に対して

  x^m=m,mlogx=logm

 したがって,最大値mは

x=exp(1/e)より,m/e=logmを満たすmということになる.

数値計算ではm=2.72〜eとなった。したがって、m=eである。

 一方,最小値mはx>exp(−e)に対して

x=exp(−e)のときではないと思われるが、そのときであれば,−me=logmを満たすmではないと思われるが・・・

数値計算ではm=0.367879=1/eとなった。

仮にx=1/e=0.367879のときとすると、-m=logm、m=0.567143となるから、

値域は[1/e,e]と考えられる。

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