■アステロイドとファウルハーバーの定理(その3)

【1】ファウルハーバーの定理(四平方の定理)

 辺(p,q,r)が1点において直交する四面体において,3つの面の面積をa,b,c,斜面の面積をdとすると

  (△ABC)^2=(△OAB)^2+(△OBC)^2+(△OCA)

  a^2+b^2+c^2=d^2

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【2】ファウルハーバーの定理の証明

 斜面の方程式は

  x/p+y/q+z/r=1

したがって,原点(0,0,0)から斜面までの距離は

  1/(1/p^2+1/q^2+1/r^2)^1/2

 四面体の体積をVとすると

  3V=d/(1/p^2+1/q^2+1/r^2)^1/2=ap=bq=cr=pqr

d^2=(pqr)^2・(1/p^2+1/q^2+1/r^2)

=(qr)^2+(rp)^2+)pq)^2

=a^2+b^2+c^2

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残念ながら一定となるのは切片の平方和であって、接平面の面積ではない

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