ハイポサイクロイドの平行曲線は

　　ｘ＝（ｍ−１）ａｃｏｓ2θ＋ａｃｏｓ（2ｍ−2）θ＋ｒｓｉｎ（（ｍ-2）θ）

　　ｙ＝（ｍ−１）ａｓｉｎ2θ−ａｓｉｎ（2ｍ−2）θ-ｒｃｏｓ（（ｍ-2）θ）

一方、フルヴィッツ曲線は、

　　ｘ＝（ｎ−2）aｃｏｓｎβ＋ｎaｃｏｓ（ｎ−2）β−2Rｓｉｎβ

　　ｙ＝-（ｎ−2）aｓｉｎｎβ+ｎaｓｉｎ（ｎ−2）β−2Rｃｏｓβ

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ｍ＝3を代入すると

　　ｘ＝2ａｃｏｓ2θ＋ａｃｏｓ4θ＋ｒｓｉｎ（θ）

　　ｙ＝2ａｓｉｎ2θ−ａｓｉｎ4θ-ｒｃｏｓ（θ）

これはデルトイド

　　ｘ＝2ａｃｏｓ2θ＋ａｃｏｓ4θ

　　ｙ＝2ａｓｉｎ2θ−ａｓｉｎ4θ

と円の混合と考えられる。

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ｍ＝4を代入すると

　　ｘ＝3ａｃｏｓ2θ＋ａｃｏｓ6θ＋ｒｓｉｎ（2θ）

　　ｙ＝3ａｓｉｎ2θ−ａｓｉｎ6θ-ｒｃｏｓ（2θ）

これはアステロイド

　　ｘ＝3ａｃｏｓ2θ＋ａｃｏｓ6θ

　　ｙ＝3ａｓｉｎ2θ−ａｓｉｎ6θ

と円の混合と考えられる。

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ｎ＝3を代入すると

　　ｘ＝aｃｏｓ3β＋3aｃｏｓβ−2Rｓｉｎβ

　　ｙ＝-aｓｉｎｎβ+3aｓｉｎβ−2Rｃｏｓβ

これはデルトイドと円の混合と考えられる。

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ｎ＝4を代入すると

　　ｘ＝2aｃｏｓ4β＋4aｃｏｓ2β−2Rｓｉｎβ

　　ｙ＝-2ｓｉｎｎ4β+4aｓｉｎ2β−2Rｃｏｓβ

これはアステロイド円の混合と考えられる。

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