【１】ハイポサイクロイドの平行曲線

　ハイポサイクロイドは

　　ξ＝（ｎ−１）ａｃｏｓθ＋ａｃｏｓ（ｎ−１）θ

　　η＝（ｎ−１）ａｓｉｎθ−ａｓｉｎ（ｎ−１）θ

で与えられます．

　　ｄε／ｄθ＝−(n-1)ａ（ｓｉｎθ＋ｓｉｎ(n-1)θ）＝−2(n-1)ａ（ｓｉｎ(nθ/2)cos((n-2)θ/2)）

　　ｄη／ｄθ＝(n-1)ａ（ｃｏｓθ−ｃｏｓ(n-1)θ）＝2(n-1)ａ（ｓｉｎ(nθ/2)sin((n-2)θ/2)）

　　（ｄε／ｄθ）^2＋（ｄη／ｄθ）^2＝2(n-1)^2ａ^2（１−ｃｏｓnθ）＝4(n-1)^2ａ^2ｓｉｎ^2（nθ／２）

ですから，平行曲線は

　　ｘ＝（ｎ−１）ａｃｏｓθ＋ａｃｏｓ（ｎ−１）θ＋ｒｓｉｎ（（ｎ-2）θ／２）

　　ｙ＝（ｎ−１）ａｓｉｎθ−ａｓｉｎ（ｎ−１）θ＋ｒｃｏｓ（（ｎ-2）θ／２）

および

　　ｘ＝（ｎ−１）ａｃｏｓθ＋ａｃｏｓ（ｎ−１）θ-ｒｓｉｎ（（ｎ-2）θ／２）

　　ｙ＝（ｎ−１）ａｓｉｎθ−ａｓｉｎ（ｎ−１）θ-ｒｃｏｓ（（ｎ-2）θ／２）

のようになります．

θを2θで置き換えて

　　ｘ＝（ｎ−１）ａｃｏｓ2θ＋ａｃｏｓ（2ｎ−2）θ＋ｒｓｉｎ（（ｎ-2）θ）

　　ｙ＝（ｎ−１）ａｓｉｎ2θ−ａｓｉｎ（2ｎ−2）θ-ｒｃｏｓ（（ｎ-2）θ）

を選びます。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】接線極座標と内転形

　曲線上の点Ｐにおける接線に原点Ｏから引いた垂線の長さをｐ，接線とｘ軸とのなす角度をθとすると，

　　ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝ｐ（θ）

と表されます．（ｐ，θ）を接線極座標といいます．

　ハイポサイクロイドの平行曲線の接線極座標は

　　ｘ＝（ｎ−１）ａｃｏｓ2θ＋ａｃｏｓ（2ｎ−2）θ＋ｒｓｉｎ（（ｎ-2）θ）

　　ｙ＝（ｎ−１）ａｓｉｎ2θ−ａｓｉｎ（2ｎ−2）θ-ｒｃｏｓ（（ｎ-2）θ）

を代入して

　　ｐ（θ）＝-（ｎ−１）ａsin3θ+acos（2ｎ−3）θ＋ｒ

で与えられます．

　ここで，ω＝２π／nとおくと，

　　ｐ（θ）＋ｐ（θ＋ω）＋ｐ（θ＋２ω）+・・・+ｐ（θ＋（ｎ-1）ω）＝ｎｒ（一定）

ですから，内転形であるための条件を満たしそうであるが・・・．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝