【２】アステロイドの平行曲線

　アステロイド：ｘ^2/3＋ｙ^2/3＝ａ^2/3

のパラメータ表示

　　ξ＝ａｃｏｓ^3θ，η＝ａｓｉｎ^3θ

については

　　ｘ＝ａｃｏｓ^3θ＋ｒｓｉｎθ

　　ｙ＝ａｓｉｎ^3θ＋ｒｃｏｓθ

および

　　ｘ＝ａｃｏｓ^3θ−ｒｓｉｎθ

　　ｙ＝ａｓｉｎ^3θ−ｒｃｏｓθ

のようになります．

ここで、

　　ｘ＝ａｃｏｓ^3θ＋ｒｓｉｎθ

　　ｙ＝ａｓｉｎ^3θ−ｒｃｏｓθ

を選ぶと・・・

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【３】接線極座標と内転形

　曲線上の点Ｐにおける接線に原点Ｏから引いた垂線の長さをｐ，接線とｘ軸とのなす角度をθとすると，

　　ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝ｐ（θ）

と表されます．（ｐ，θ）を接線極座標といいます．

　アステロイドの平行曲線の接線極座標は

　　ｘ＝ａｃｏｓ^3θ＋ｒｓｉｎθ

　　ｙ＝−ａｓｉｎ^3θ−ｒｃｏｓθ

を代入して

　　ｐ（θ）＝ａｓｉｎ２θ／２＋ｒ

で与えられます．

　ここで，ω＝２π／３とおくと，

　　ｐ（θ）＋ｐ（θ＋ω）＋ｐ（θ＋２ω）＝３ｒ＝ｈ（一定）

ですから，内転形であるための条件を満たします．

　また，その曲率半径は

　　ρ（θ）＝ｐ（θ）＋ｐ”（θ）

　＝ａｓｉｎ２θ／２＋ｒ−２ａｓｉｎ２θ＝ｒ−３／２ａｓｉｎ２θ≧０

より，ｒ≧３／２ａに対し，アステロイドの平行曲線

　　ｘ＝ａｃｏｓ^3θ＋ｒｓｉｎθ

　　ｙ＝−ａｓｉｎ^3θ−ｒｃｏｓθ

は特異点をもたずに高さｈ＝３ｒの正三角形に内接しながら回転することができる図形であることがわかります．

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