■フルヴィッツ曲線(その51)

(その47)をやり直し

 フルヴィッツ曲線を(x,y)で表すことにする.

  x=(n−2)acosnβ+nacos(n−2)β−2Rsinβ

  y=-(n−2)asinnβ+nasin(n−2)β−2Rcosβ

で表すことにする.

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n=4を代入すると

  x=2acos4β+4acos2β−2Rsinβ

  y=-2asin4β+4asin2β−2Rcosβ

  x=2acos4β+4acos2β

  y=-2asin4β+4asin2β

はデルトイド

  x=cos2t+2cost

  y=-sin2t+2sint

と同一で、デルトイドと円の混合と考えられる。(平行曲線?)

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一般にハイポサイクロイドは

  x=cos(m-1)t+(m-1)cost

  y=-sin(m-1)t+(m-1)sint

と書くことができる。

n/(n-2)が整数比となるのは1+2/(n-2)より、n=3,4のときに限られる。

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【2】接線極座標と内転形

 デルトイドの平行曲線の方程式を

  x=a(2cosθ+cos2θ)-rsin(θ/2)

  y=a(2sinθ−sin2θ)−rcos(θ/2)

とおいて

  xsinθ−ycosθ=p(θ)

に代入すると,包絡線の接線極座標における方程式は

  p(θ)=asin3θ+rcos(3θ/2)

で与えられます.

  p(θ)+p(θ+π)≠(一定)

です

そこで、

  x=2acos4β+4acos2β−2Rsinβ

  y=-2asin4β+4asin2β−2Rcosβ

とおきなおして

  xsinβ−ycosβ=p(β)

に代入すると

p(β)=-2asin(3β)+4asin(β)+2Rcos(2β)

p(β)+p(β+π)≠(一定)

で変わりありません。

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平行曲線は2組あり

  x=2acos4β+4acos2β+2Rsinβ (+に変わっている)

  y=-2asin4β+4asin2β−2Rcosβ

とおくことにします。

  xsinβ−ycosβ=p(β)

に代入すると

p(β)=-2asin(3β)+4asin(β)+2R

p(β)+p(β+π)=(一定)

から,デルトイドの平行曲線は定幅曲線である.

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