フルヴィッツ曲線を(x,y)で表すことにする．

　　ｘ＝（ｎ−2）aｃｏｓｎβ＋ｎaｃｏｓ（ｎ−2）β−2Rｓｉｎβ

　　ｙ＝-（ｎ−2）aｓｉｎｎβ+ｎaｓｉｎ（ｎ−2）β−2Rｃｏｓβ

で表すことにする．

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ｎ＝４を代入すると

　　ｘ＝2aｃｏｓ4β＋4aｃｏｓ2β−2Rｓｉｎβ

　　ｙ＝-2aｓｉｎ4β+4aｓｉｎ2β−2Rｃｏｓβ

　　ｘ＝2aｃｏｓ4β＋4aｃｏｓ2β

　　ｙ＝-2aｓｉｎ4β+4aｓｉｎ2β

はデルトイド

　　ｘ＝ｃｏｓ2t＋2ｃｏｓt

　　ｙ＝-ｓｉｎ2t+2ｓｉｎt

と同一で、デルトイドと円の混合と考えられる。(平行曲線？）

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一般にハイポサイクロイドは

　　ｘ＝ｃｏｓ(m-1)t＋(m-1)ｃｏｓt

　　ｙ＝-ｓｉｎ(m-1)t+(m-1)ｓｉｎt

と書くことができる。

ｎ/（ｎ-2）が整数比となるのは1+2/(n-2)より、ｎ=3,4のときに限られる。

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ある曲線に対して，その曲線上の各点より法線方向へ一定の距離にある曲線を「平行曲線」といいます．平行曲線とは鉄道の線路のようなものと考えてもらって差し支えないのですが，ある曲線上を円が転がるとき円の中心の描く軌跡であり，また，初期曲線を波面と考えたときの波面（フロント）の時間発展でもあります．

　すなわち，平行曲線の考え方は，幾何光学におけるホイヘンスの原理にすでに認めることができます．ホイヘンスの原理とは，光を波とみなすとき，波面の各点から波が新たに発生すると思って半径一定の球面を描くと，その球面の包絡面が次の波面を決めるという光の進行原理のことです．

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【１】平行曲線

　直線の場合，「平行曲線」は平行線であり，円の場合は同心円になります．直線と円は曲率が一定の平面曲線で，曲率一定の平面曲線は直線と円に限られます．ある曲線（ξ，η）の平行曲線（ｘ，ｙ）が特異点を作らずに平面をただ一回だけ覆いつくすためには，曲率一定の直線と円のみがこの性質を満たします．

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