■フルヴィッツ曲線(その46)

 フルヴィッツ曲線を(x,y)で表すことにする.

  x=(n−2)acosnβ+nacos(n−2)β−2Rsinβ

  y=-(n−2)asinnβ+nasin(n−2)β−2Rcosβ

で表すことにする.

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n=4を代入すると

  x=2acos4β+4acos2β−2Rsinβ

  y=-2asin4β+4asin2β−2Rcosβ

  x=2acos4β+4acos2β

  y=-2asin4β+4asin2β

はデルトイド

  x=cos2t+2cost

  y=-sin2t+2sint

と同一で、デルトイドと円の混合と考えられる。(平行曲線?)

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一般にハイポサイクロイドは

  x=cos(m-1)t+(m-1)cost

  y=-sin(m-1)t+(m-1)sint

と書くことができる。

n/(n-2)が整数比となるのは1+2/(n-2)より、n=3,4のときに限られる。

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円の接線極座標における方程式は

  p(θ)=a0/2+a1cosθ+b1sinθ

で与えられます.

  p(θ)+p(θ+π)=a0

ですから定幅曲線で,その曲率半径はa0/2となります.

 ルーローの三角形は定幅曲線ですが,ルーローの三角形の平行曲線もまた定幅曲線です.それではルーローの三角形ではなく,デルトイドの平行曲線は定幅曲線になるでしょうか?

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【1】デルトイドの平行曲線

 デルトイド

  ξ=a(2cosθ+cos2θ)=2acosθ(1+cosθ)−a

  η=a(2sinθ−sin2θ)=2asinθ(1−cosθ)

において,

  dε/dθ=−a(2sinθ+2sin2θ)=−2asinθ(1+2cosθ)

  dη/dθ=a(2cosθ−2cos2θ)=2a(1−cosθ)(1+2cosθ)

  (dε/dθ)^2+(dη/dθ)^2=8a^2(1−cos3θ)=8a^2(1+2cosθ)^2(1−cosθ)=16a^2(1+2cosθ)^2sin^2(θ/2)

ですから,平行曲線は

  x=2acosθ(1+cosθ)−a+rsin(θ/2)

  y=2asinθ(1−cosθ)+rcos(θ/2)

および

  x=2acosθ(1+cosθ)−a−rsin(θ/2)

  y=2asinθ(1−cosθ)−rcos(θ/2)

のようになります.

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【補】平行曲線

 中心の軌跡が(ξ(θ),η(θ))でパラメータ表示される半径rの円

  (x−ξ(θ))^2+(y−η(θ))^2=r^2

  y=η(θ)±{r^2−(x−ξ(θ))^2}^(1/2)

の一部がドリルの円弧であるとき,

  ∂y/∂θ=0 → (x−ξ(θ))dξ/dθ+(y−η(θ))dη/dθ=0

 これより,包絡線の方程式は

  x=ξ(θ)+rdη/dθ/{(dξ/dθ)^2+(dη/dθ)^2}^(1/2)

  y=η(θ)−rdξ/dθ/{(dη/dθ)^2+(dξ/dθ)^2}^(1/2)

および

  x=ξ(θ)−rdη/dθ/{(dξ/dθ)^2+(dη/dθ)^2}^(1/2)

  y=η(θ)+rdξ/dθ/{(dη/dθ)^2+(dξ/dθ)^2}^(1/2)

とパラメータ表示されます.

 これは中心の軌跡(ξ,η)と直交する方向(法線方向)にrだけ離れた2点の軌跡です.すなわち,中心の軌跡の平行曲線を描くというわけです.

 例をあげると,楕円:x^2/a^2+y^2/b^2=1

のパラメータ表示

  ξ=acosθ,η=bsinθ

については

  x=acosθ+rbcosθ/(a^2sin^2θ+b^2cos^2θ)^(1/2)

  y=bsinθ+rasinθ/(a^2sin^2θ+b^2cos^2θ)^(1/2)

および

  x=acosθ−rbcosθ/(a^2sin^2θ+b^2cos^2θ)^(1/2)

  y=bsinθ−rasinθ/(a^2sin^2θ+b^2cos^2θ)^(1/2)

のようになります.

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