■フルヴィッツ曲線(その16)

【1】フルヴィッツ曲線の回転

 フルヴィッツ曲線を(x,y)で表すことにする.

  x=(n−2)acosnβ+nacos(n−2)β−2Rsinβ

  y=-(n−2)asinnβ+nasin(n−2)β−2Rcosβ

で表すことにする.

 この曲線を(n−1)公転について1回自転させてみる.その際,公転と自転の向きを同じ方向にとると,

  [X]=[cosθ,-sinθ][x]+acos(n−1)θ

  [Y]=[sinθ, cosθ][y]+asin(n−1)θ

 フルヴィッツ曲線の運動族は

  x=(n-2)acos(nβ-θ)+nacos((n−2)β+θ)−2Rsin(β-θ)+acos((n−1)θ)

  y=-(n-2)asin(nβ-θ)+nasin((n−2)β+θ)−2Rcos(β-θ)+asin((n−1)θ)

で表される

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【2】包絡線の求め方

 パラメータ表示された曲線:x=x(β,θ),y=y(β,θ)が与えられている場合,パラメータβが微小変化するとき,包絡線に接しているある点における接線の傾きは

  dy/dx=(∂y/∂β)/(∂x/∂β)

で,この傾きの曲線に沿ってx方向に∂x/∂β,y方向に∂y/∂β変化します.

 パラメータθが動くときも同様で,

  dy/dx=(∂y/∂θ)/(∂x/∂θ)

したがって,

  (∂y/∂β)/(∂x/∂β)=(∂y/∂θ)/(∂x/∂θ)

  (∂y/∂β)(∂x/∂θ)−(∂y/∂β)(∂x/∂θ)=0

が成り立てば接線に沿って動いていくことになります.この点の軌跡が求める包絡線にほかなりません.

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 フルヴィッツ曲線の運動族は

  x=(n-2)acos(nβ-θ)+nacos((n−2)β+θ)−2Rsin(β-θ)+acos((n−1)θ)

  y=-(n-2)asin(nβ-θ)+nasin((n−2)β+θ)−2Rcos(β-θ)+asin((n−1)θ)

に対して

  (∂y/∂β)(∂x/∂θ)−(∂x/∂β)(∂y/∂θ)=0

を計算すると

(∂y/∂β)=-n(n-2)acos(nβ-θ)+n(n-2)acos((n−2)β+θ)+2Rsin(β-θ)

(∂x/∂θ)=(n-2)asin(nβ-θ)-nasin((n−2)β+θ)+2Rcos(β-θ)-(n-1)asin((n−1)θ)

(∂x/∂β)=-n(n-2)asin(nβ-θ)-n(n-2)asin((n−2)β+θ)−2Rcos(β-θ)

(∂y/∂θ)=(n-2)acos(nβ-θ)+nacos((n−2)β+θ)-2Rsin(β-θ)+(n-1)acos((n−1)θ)

R=n(n-2)aとおくと少しは簡単になりそうだ。

(∂y/∂β)=-cos(nβ-θ)+cos((n−2)β+θ)+2sin(β-θ)

(∂x/∂θ)=(n-2)sin(nβ-θ)-nsin((n−2)β+θ)+2n(n-2)cos(β-θ)-(n-1)sin((n−1)θ)

(∂x/∂β)=-sin(nβ-θ)-sin((n−2)β+θ)−2cos(β-θ)

(∂y/∂θ)=(n-2)cos(nβ-θ)+ncos((n−2)β+θ)-2n(n-2)sin(β-θ)+(n-1)cos((n−1)θ)

(n-2)sin((2n-2)β)+2(n-2)cos(1-n)β

+nsin((2n-2)β) +2ncos(1-n)β

-2n(n-2)cos(n-1)β+2n(n-2)cos(n-1)β

(n-1)sin(nβ+(n-2)θ)+(n-1)sin(((n-2)β-(n-2)θ)+2(n-1)cos(β+(n-2)θ)=0

(2n-2)sin((2n-2)β)+4(n-1)cos(n-1)β

{(n-1)sin(nβ)+(n-1)sin(n-2)β+2(n-1)cosβ}cos(n-2)θ)

{(n-1)cos(nβ)-(n-1)cos(n-2)β-2(n-1)sinβ}sin(n-2)θ)=0

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Asin(nθ)+Bcos(nθ)=C

の形に整理されました.

 A,B,Cの具体的な形は割愛し考え方を示すにとどめますがますが,ここで

  cosψ=A/(A^2+B^2)^(1/2),

  sinψ=B/(A^2+B^2)^(1/2),

  tanψ=B/A

とおくと,

  sin(nθ+ψ)=C/(A^2+B^2)^(1/2)

より

  nθ=−arctan(B/A)+arcsin(C/(A^2+B^2)^(1/2))

 =(n−3)θ−arctan(B/A)+arctan(C/(A^2+B^2−C^2)^(1/2))

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