ｘ＝−ａｃｏｓｎθ＋ｎａｃｏｓθｃｏｓ（ｎ−１）θ−Ｒｓｉｎθ

　　ｙ＝　ａｓｉｎｎθ−ｎａｓｉｎθｃｏｓ（ｎ−１）θ−Ｒｃｏｓθ

魚の尻尾のような突起をもつ包絡線において

　　ａ＝Ｒ／｛（ｎ−１）^2−１｝

とおくと特異点を解消することができますから

　　ｘ＝−ｃｏｓｎθ＋ｎｃｏｓθｃｏｓ（ｎ−１）θ−ｎ（ｎ−２）ｓｉｎθ

　　ｙ＝　ｓｉｎｎθ−ｎｓｉｎθｃｏｓ（ｎ−１）θ−ｎ（ｎ−２）ｃｏｓθ

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　ｘ＝−ｃｏｓｎθ＋ｎ/2｛ｃｏｓｎθ+ｃｏｓ（ｎ−2）θ｝−ｎ（ｎ−２）ｓｉｎθ

　　ｙ＝　ｓｉｎｎθ−ｎ/2｛ｓｉｎｎθ-ｓｉｎ（ｎ−2）θ−ｎ（ｎ−２）ｃｏｓθ

　　ｘ＝（ｎ/2−1）ｃｏｓｎθ＋ｎ/2ｃｏｓ（ｎ−2）θ−ｎ（ｎ−２）ｓｉｎθ

　　ｙ＝-（ｎ/2−1）ｓｉｎｎθ+ｎ/2ｓｉｎ（ｎ−2）θ−ｎ（ｎ−２）ｃｏｓθ

2倍すると

　　ｘ＝（ｎ−2）ｃｏｓｎθ＋ｎｃｏｓ（ｎ−2）θ−2ｎ（ｎ−２）ｓｉｎθ

　　ｙ＝-（ｎ−2）ｓｉｎｎθ+ｎｓｉｎ（ｎ−2）θ−2ｎ（ｎ−２）ｃｏｓθ

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　ｘ＝（ｎ−2）aｃｏｓｎθ＋ｎaｃｏｓ（ｎ−2）θ−2Rｓｉｎθ

　　ｙ＝-（ｎ−2）aｓｉｎｎθ+ｎaｓｉｎ（ｎ−2）θ−2Rｃｏｓθ

計算の都合上

　　ｘ＝（ｎ−2）aｃｏｓｎβ＋ｎaｃｏｓ（ｎ−2）β−2Rｓｉｎβ

　　ｙ＝-（ｎ−2）aｓｉｎｎβ+ｎaｓｉｎ（ｎ−2）β−2Rｃｏｓβ

とする

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