【１】外周曲線の回転

　外周曲線を(x,y)で表すことにする．たとえば、ペリトロコイド曲線を

　　ｘ＝Ｒｃｏｓ（β＋γ）＋ａｃｏｓ（ｎ−１）β

　　ｙ＝Ｒｓｉｎ（β＋γ）＋ａｓｉｎ（ｎ−１）β

で表すことにする．

　この曲線を（ｎ−２）公転について１回自転させてみる．その際，公転と自転の向きを同じ方向にとると，

　　［Ｘ］＝［ｃｏｓθ，-ｓｉｎθ］［ｘ］＋ａｃｏｓ（ｎ−２）θ

　　［Ｙ］＝［ｓｉｎθ， ｃｏｓθ］［ｙ］＋ａｓｉｎ（ｎ−２）θ

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　ペリトロコイド曲線の運動族

　　ｘ＝Ｒｃｏｓ（β＋γ+θ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−１）β+θ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−２）θ）

　　ｙ＝Ｒｓｉｎ（β＋γ+θ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−１）β+θ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−２）θ）

に対して

　　（∂ｙ／∂β）（∂ｘ／∂θ）−（∂ｙ／∂β）（∂ｘ／∂θ）＝０

を計算すると

∂ｙ／∂β＝Ｒcos（β＋γ+θ）＋（ｎ−１）ａcos（（ｎ−１）β+θ）

∂ｘ／∂θ＝-Ｒsin（β＋γ+θ）-ａsin（（ｎ−１）β+θ）-（ｎ−２）ａsin（（ｎ−２）θ）

∂x／∂β＝-Ｒsin（β＋γ+θ）-（ｎ−１）ａsin（（ｎ−１）β+θ）

∂y／∂θ＝ Ｒcos（β＋γ+θ）+ａcos（（ｎ−１）β+θ）+（ｎ−２）ａcos（（ｎ−２）θ）

-Ｒ（ｎ−2）ａsin（β＋γ+θ-（ｎ−１）β-θ）

Ｒ（ｎ−2）ａsin（β＋γ+θ-（ｎ−2）θ）

(n-1)(n-2)a^2sin(（ｎ−１）β+θ-（ｎ−２）θ)=0

-Ｒsin（γ-（ｎ−2）β）

Ｒsin（β＋γ-（ｎ−3）θ）

(n-1)asin（ｎ−１）β-（ｎ−3）θ)=0

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-Ｒsin（γ-（ｎ−2）β）

Ｒsin（（ｎ−１）β-（ｎ−3）θ+γ-（ｎ−2）β））

(n-1)asin（ｎ−１）β-（ｎ−3）θ)=0

-Ｒsin（γ-（ｎ−2）β）

Ｒsin（（ｎ−１）β-（ｎ−3）θ）cos（γ-（ｎ−2）β）

Ｒcos（（ｎ−１）β-（ｎ−3）θ）sin（γ-（ｎ−2）β）

(n-1)asin（ｎ−１）β-（ｎ−3）θ)=0

-Ｒsin（γ-（ｎ−2）β）

sin（ｎ−１）β-（ｎ−3）θ){Rcos（γ-（ｎ−2）β）+(n-1)a}

cos（（ｎ−１）β-（ｎ−3）θ）{Rsin（γ-（ｎ−2）β）}=0

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Ａｓｉｎ（（ｎ−1）β−（ｎ−3）θ）＋Ｂｃｏｓ（（ｎ−１）β−（ｎ−3）θ）＝Ｃ

の形に整理されました．

　Ａ，Ｂ，Ｃの具体的な形は割愛し考え方を示すにとどめますがますが，ここで

　　ｃｏｓψ＝Ａ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)，

　　ｓｉｎψ＝Ｂ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)，

　　ｔａｎψ＝Ｂ／Ａ

とおくと，

　　ｓｉｎ（（ｎ−1）β−（ｎ−3）θ＋ψ）＝Ｃ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)

より

　　（ｎ−1）β＝（ｎ−3）θ−ａｒｃｔａｎ（Ｂ／Ａ）＋ａｒｃｓｉｎ（Ｃ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)）

　＝（ｎ−3）θ−ａｒｃｔａｎ（Ｂ／Ａ）＋ａｒｃｔａｎ（Ｃ／（Ａ^2＋Ｂ^2−Ｃ^2）^(1/2)）

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Ａ＝Rcos（γ-（ｎ−2）β）+(n-1)a

Ｂ＝Rsin（γ-（ｎ−2）β）

Ｃ＝-Ｒsin（（ｎ−2）β-γ）＝-Ｂ

　＝（ｎ−3）θ−ａｒｃｔａｎ（-C／Ａ）＋ａｒｃｔａｎ（Ｃ／A）

　＝（ｎ−3）θ+2ａｒｃｔａｎ（Ｃ／A）

より

　　θ＝（ｎ−1）β／（ｎ−3）−２／（ｎ−3）ａｒｃｔａｎ（-Ｒｓｉｎ（（ｎ−２）β−γ）／（Ｒｃｏｓ（（ｎ−２）β−γ）＋（ｎ−１）ａ））

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