正ｎ角形の内転形であるフルヴィッツ曲線について再考

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正ｎ角形の枠を（ｎ−２）公転について１回自転させたときの包絡線の方程式は

　　ｘ＝ａｓｉｎθｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒｓｉｎθ＋（ｎ−１）ａｃｏｓθｃｏｓ（ｎ−１）θ

　　ｙ＝ａｃｏｓθｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒｃｏｓθ−（ｎ−１）ａｓｉｎθｃｏｓ（ｎ−１）θ

で表されます．

　　ｘ＝ａｓｉｎθｓｉｎ（ｎ−１）θ−ａｃｏｓθｃｏｓ（ｎ−１）θ＋ｎａｃｏｓθｃｏｓ（ｎ−１）θ−Ｒｓｉｎθ

　　ｙ＝ａｃｏｓθｓｉｎ（ｎ−１）θ＋ａｓｉｎθｃｏｓ（ｎ−１）θ−ｎａｓｉｎθｃｏｓ（ｎ−１）θ−Ｒｃｏｓθ

　　ｘ＝−ａｃｏｓｎθ＋ｎａｃｏｓθｃｏｓ（ｎ−１）θ−Ｒｓｉｎθ

　　ｙ＝　ａｓｉｎｎθ−ｎａｓｉｎθｃｏｓ（ｎ−１）θ−Ｒｃｏｓθ

魚の尻尾のような突起をもつ包絡線を楕円の平行曲線で近似して

　　ａ＝Ｒ／｛（ｎ−１）^2−１｝

とおくと特異点を解消することができますから

　　ｘ＝−ｃｏｓｎθ＋ｎｃｏｓθｃｏｓ（ｎ−１）θ−ｎ（ｎ−２）ｓｉｎθ

　　ｙ＝　ｓｉｎｎθ−ｎｓｉｎθｃｏｓ（ｎ−１）θ−ｎ（ｎ−２）ｃｏｓθ

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　ｎ＝３とおくと

　　ｘ＝２（ｃｏｓθ）^3−３ｓｉｎθ

　　ｙ＝２（ｓｉｎθ）^3−３ｃｏｓθ

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　　ｘ＝−ｃｏｓｎθ＋ｎ/2｛ｃｏｓｎθ+ｃｏｓ（ｎ−2）θ｝−ｎ（ｎ−２）ｓｉｎθ

　　ｙ＝　ｓｉｎｎθ−ｎ/2｛ｓｉｎｎθ-ｓｉｎ（ｎ−2）θ−ｎ（ｎ−２）ｃｏｓθ

　　ｘ＝（ｎ/2−1）ｃｏｓｎθ＋ｎ/2ｃｏｓ（ｎ−2）θ−ｎ（ｎ−２）ｓｉｎθ

　　ｙ＝-（ｎ/2−1）ｓｉｎｎθ+ｎ/2ｓｉｎ（ｎ−2）θ−ｎ（ｎ−２）ｃｏｓθ

2倍すると

　　ｘ＝（ｎ−2）ｃｏｓｎθ＋ｎｃｏｓ（ｎ−2）θ−2ｎ（ｎ−２）ｓｉｎθ

　　ｙ＝-（ｎ−2）ｓｉｎｎθ+ｎｓｉｎ（ｎ−2）θ−2ｎ（ｎ−２）ｃｏｓθ

　ｎ＝３とおくと

　　ｘ＝ｃｏｓ3θ+３ｃｏｓθ−6ｓｉｎθ＝4（ｃｏｓθ）^3−6ｓｉｎθ

　　ｙ＝-ｓｉｎ3θ+３ｓｉｎθ−6ｃｏｓθ＝4（ｓｉｎθ）^3−6ｃｏｓθ

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