[Q]サマーヴィルの等面四面体（3辺の長さが２,root3,root3の等面四面体）と正四面体（3辺の長さがroot3,root3,root3）の高さを比較せよ

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ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ａ

ＡＣ＝ＢＤ＝ｂ

ＡＤ＝ｃ

の四面体を考えると，

　　１４４Ｖ^2＝ａ^2ｃ^2（ｂ^2＋ａ^2＋ｂ^2＋ａ^2−ａ^2−ｃ^2）

　　　　　　　＋ｂ^2ｂ^2（ａ^2＋ａ^2＋ａ^2＋ｃ^2−ｂ^2−ｂ^2）

　　　　　　　＋ａ^2ａ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｂ^2−ａ^2−ａ^2）

　　　　　　　−ａ^2ｂ^2ａ^2−ａ^2ｂ^2ａ^2−ｂ^2ａ^2ｃ^2−ａ^2ｃ^2ｂ^2

＝ａ^2ｃ^2（ａ^2＋２ｂ^2−ｃ^2）

＋ｂ^4（３ａ^2−２ｂ^2＋ｃ^2）

＋ａ^4（−ａ^2＋２ｂ^2＋ｃ^2）

−２ａ^4ｂ^2−２ａ^2ｂ^2ｃ^2

＝ａ^2ｃ^2（ａ^2−ｃ^2）

　＋ｂ^4（３ａ^2−２ｂ^2＋ｃ^2）

　＋ａ^4（−ａ^2＋ｃ^2）

［１］正四面体（ａ^2，b^2，ｃ^2）＝（１，１，１）

　　→１４４Ｖ^2＝２，Ｖ^2＝１／７２　　（ＯＫ）

［２］正四面体（ａ^2，b^2，ｃ^2）＝（３，３，３）

　　→１４４Ｖ^2＝９・２・３＝５４，Ｖ^2＝３／８　　（ＯＫ）

［３］サマーヴィルの等面四面体（ａ^2，b^2，ｃ^2）＝（３，４，３）

　　→１４４Ｖ^2＝１６・４，Ｖ^2＝４／９　　（ＯＫ）

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３辺の長さがa,b,cの三角形の面積は？

　　Δ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）

は使いにくいので

（４Δ）^2＝２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4

を用いる．

［２］正四面体（ａ^2，b^2，ｃ^2）＝（３，３，３）

　　１６Δ^2＝２（９＋９＋９）−（９＋９＋９）＝２７

　　△^2＝２７／１６

　　→１４４Ｖ^2＝９・２・３＝５４，Ｖ^2＝３／８　　（ＯＫ）

Ｈ^2＝（３Ｖ／△）^2＝9・3/8・16/27＝2

［３］サマーヴィルの等面四面体（ａ^2，b^2，ｃ^2）＝（３，４，３）

　　１６Δ^2＝２（１２＋１２＋９）−（９＋１６＋９）＝３２

　　△^2＝２

　　→１４４Ｖ^2＝１６・４，Ｖ^2＝４／９　　（ＯＫ）

Ｈ^2＝（３Ｖ／△）^2＝9・4/9・1/2＝2

等しい

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