ここでは、以下の問題を取り上げる。

[Q]サマーヴィルの等面四面体（3辺の長さが２,root3,root3の等面四面体）の体積は?

[Q]サマーヴィルの等面四面体（3辺の長さが２,root3,root3の等面四面体）と正四面体（3辺の長さがroot3,root3,root3）の高さを比較せよ

[Q]3辺の長さがa,1,1の等面四面体の体積が最大となるaの値は?

[Q]3辺の長さがa,1,1の等面四面体の高さが最大となるaの値は?

まずは、ヘロンの公式から・・・

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　おなじみの平面三角形のヘロンの公式にほかなりませんが，三角形の３辺の長さをａ，ｂ，ｃ，面積をΔとして，

（４Δ）^2＝２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4

　　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）

ここで，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとおくと

　　Δ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）

となり，ヘロンの公式が得られます．

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［Ｑ］３辺の長さが５，６，７の三角形の面積は？

　　ｓ＝９

　　Δ^2＝９・４・３・２→△＝６√６

［Ｑ］３辺の長さが√５，√７，√９の三角形の面積は？

　　Δ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）

は使いにくいので

（４Δ）^2＝２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4

を用いる．

　　ａ^2＝５，ｂ^2＝７，ｃ^2＝９

　　１６Δ^2＝２（３５＋６３＋４５）−（２５＋４９＋８１）＝１３１

　　△＝１／４・√１３１

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