■完全ベキ乗数列(その42)

 Σ1/n^2 =1/1^2+1/2^2+1/3^2+1/4^2+・・・

が収束することは1/n^2<1/(n−1)nを用いて,次のようにして示すことができます.

(証)n次部分和をPn とすると,

  Pn =1/1^2+1/2^2+1/3^2+・・・+1/n^2

<1+1/1・2+1/2・3+・・・+1/(n−1)・n

=1+(1/1−1/2)+(1/2−1/3)+・・・(1/(n−1)−1/n)

=2−1/n<2

より,単調増加数列{Pn }は有界でn→∞のとき収束することがわかります.

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[雑感]これは三角数の逆数和>四角数の逆数和であることを示している.

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