■オイラー積の仲間達(その33)

【1】π/2に収束する分数列

  {an}=Π(2n)^2/(2n−1)(2n+1)

=2/1・2/3・4/3・4/5・6/5・6/7・・・=π/2

[証]ウォリスの公式(1656年)である.

(2・2/1・3)(4・4/3・5)(6・6/5・7)・・・(2n・2n/(2n−1)・(2n+1))・・・

=Π2n/(2n−1)・2n/(2n+1)

=Πn/(n−1/2)・n/(n+1/2)

=Γ(1/2)Γ(3/2)/Γ(1)Γ(1)=2Γ^2(3/2)

=π/2

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【2】π^2/6に収束する分数列(その1)

 素数をわたる無限積(オイラー積)

  {an}=Πp^2/(p^2−1)=4/3・9/8・25/24・49/48・・・

 =Π1/(1−1/p^2)=π^2/6=ζ(2)

が成り立つ.

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[証]無限等比級数に展開すると

  Π1/(1−1/p^2)=Π(1+1/p^2+1/p^4+・・・)

 右辺の無限和の無限積をみていかめしい感じがするが,ここでリーマンのゼータ関数を思い出せば

  ζ(k)=Σ1/n^k=Π1/(1−1/p^k)

したがって,すべての平方数の逆数1/n^2にほかならず,各平方数はちょうど1回現れる.

  Π1/(1−1/p^2)=Π(1+1/p^2+1/p^4+・・・)

 =Σ1/n^2=ζ(2)=π^2/6

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 ついでながら,すべての素数をわたる無限積

  Π(p^2+1)/(p^2−1)=5/3・10/8・26/24・50/48・・・=5/2

が成り立つ.

(証)

>  Π(p^2+1)/(p^2−1)=Π(p^4−1)/(p^2−1)^2=Π(1−1/p^4)/(1−1/p^2)^2

 等比級数に展開すると

  Π(1−1/p^4)/(1−1/p^2)^2=Π(1+1/p^2+1/p^4+・・・)^2/Π(1+1/p^4+1/p^8+・・・)=(Σ1/n^2)^2/(Σ1/n^4)

  Σ1/n^2=ζ(2)=π^2/6,Σ1/n^4=ζ(4)=π^4/90

より

>  Π(p^2+1)/(p^2−1)=(π^4/36)/(π^4/90)=5/2

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【3】π^2/6に収束する分数列(その2)

  Π(n^2/(n^2−1)

=(2・2/1・3)(3・3/2・4)(4・4/3・5)・・・(n・n/(n−1)・(n+1))・・・>→2

 それでは,

[Q]全素数にわたる積

  (2・2/1・3)(3・3/2・4)(5・5/4・6)・・・(p・p/(p−1)・(p+1))・・・

を求めよ.

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[A]当該の式

 (2・2/1・3)(3・3/2・4)(5・5/4・6)・・・(p・p/(p−1)・(p+1))・・・

  Πp^2/(p^2−1)=Π1/(1−1/p^2)

と書いたほうがわかりやすいかもしれない.これはオイラー積であって,

 ζ(2)=1/1^2 +1/2^2 +1/3^s +1/4^2 +・・・=π^2/6

に等しい.

 よって,

  π^2/6=(2・2/1・3)(3・3/2・4)(5・5/4・6)・・・(p・p/(p−1)・(p+1))・・・

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