■x^2+y^2=p^2n(その2)

4n+1型素数である5と13について、

5^2=3^2+4^2

13^2=5^2+12^2

前者に13^2、後者に5^2をかけると

65^2=39^2+52^2

65^2=25^2+60^2

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2つの平方数の和の積が再び2つの平方数の和であることは

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2

で示される。

5=1^2+2^2

13=2^2+3^2

より,

a=1、b=2、c=2、d=3とおくと

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2

65=8^2+1^2

65=4^2+7^2

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再び、

a=8、b=1、c=4、d=7とおくと

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2

65^2=39^2+52^2

65^2=25^2+60^2

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