一方，エピサイクロイドは

　　ｘ＝（ｎ＋１）ｃｏｓθ−ｃｏｓ（ｎ＋１）θ

　　ｙ＝（ｎ＋１）ｓｉｎθ−ｓｉｎ（ｎ＋１）θ

で表される。自然方程式はどのような形になるのだろうか？

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dx/dt=-(n+1)sint+(n+1)sin(n+1)t

dy/dt=(n+1)cost-(n+1)cos(n-1)t

d^2x/dt^2=-(n+1)cost+(n+1)^2cos(n+1)t

d^2y/dt^2=-(n+1)sint+(n+1)^2sin(n+1)t

{dx/dt・d^2y/dt^2-d^2x/dt^2・dy/dt}

=(n+1)^2(sint-sin(n+1)t)(sint-(n+1)sin(n+1)t)+(n+1)^2(cost-cos(n+1)t)(cost-(n+1)cos(n+1)t)

=-n(n+1)^2{1-cosnt}1=-2n(n+1)^2{sin(nt/2)}^2

{(dx/dt)^2+(dｙ/dt)^2}=2(n+1)^2{1-cos(nt)}=4(n+1)^2{sin(nt/2)}^2

κ=-2n(n+1)^2{sin(nt/2)}^2/8(n+1)^3{sin(nt/2)}^3=-n/4(n+1){sin(nt/2)}

s=∫{(dx/dt)^2+(dｙ/dt)^2}^1/2ｄｔ

=2(n+1)∫sin(nt/2)dt＝-4(n+1)/n・cos(nt/2)

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さらに回転円の半径ｒを追加すると、

κ=--n/4(n+1){sin(nt/2)}

s=-4r(n+1)/n・cos(nt/2)

{sin(nt/2)}=-n/4r(n+1)κ

cos(nt/2)=s/(-4r(n+1)/n)

1/κ^2+s^2=16r^2｛(n+1)/n}^2

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