■コペルニクスの逆定理(その62)

 θ=π/(2n+1)として,

  d=r(1+cosθ)/sinθ

  x=(1−r)cosθ

  y=(1−r)sinθ

  S1=1/2r^2tanθ−1/2r^2θ

  S2=1/2(r−x)(d−rtanθ)

  S3=1/2d^2arctan(r−x)/(d−y)−S1−S2

とおくと星状領域の面積は

  Sn=πr^2−2(2n+1)S3

で求められます.

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 ここで,rは2次方程式

  (4+4cosθ)r^2−(4+4cosθ)r+1=0

の大きな方の実根として求められますから,n→∞のとき

  r→(2+√2)/4,x→1−r,y→0

 また,n→∞のとき

  (2n+1)tanθ→π,(2n+1)sinθ→π

より,

  2(2n+1)S1→0

  arctanx=x−x^3/3+x^5/5−・・・

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  (r−x)/d(1−y/d)

 →(2r−1)/d・{1+y/d+(y/d)^2+・・・}

 =(2r−1)/d+(2r−1)y/d^2+(2r−1)y^2/d^3+・・・

 ここで,

  A=1+y/d+(y/d)^2+・・・

とすると

  (2n+1)d^2arctan(r−x)/(d−y)

 →(2n+1)d^2{(2r−1)/d・A−1/3{(2r−1)/d・A}^3+1/5{(2r−1)/d・A}^5−・・・}

 =(2r−1)(2n+1)d+(2r−1)(2n+1)y+(2r−1)(2n+1)y^2/d+・・・−1/3(2r−1)^3A^3(2n+1)/d+1/5(2r−1)^5A^5/d^3−・・・

 n→∞のとき,

  (2r−1)(2n+1)y→(2r−1)(1−r)π

  (2r−1)(2n+1)y^2/d→0

ですから

  Sn=πr^2−2(2n+1)S3

  →π{r^2−(2r−1)r−(2r−1)(1−r)+(2r−1)^3/6r}

  =π(7r^2/3−4r+2−1/6r)=(5−2√2)π/24

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