■コペルニクスの逆定理(その51)

α=180−180/n°で交わる2つの直線上で、針の両端を滑らせることによって得られる図形は針を180/n°回転させることができる。

この図形をn個貼り合わせると2n-1尖点図形が出来上がるが、この図形は完全に1回転させることができる。

長さ1の線分の両端点がそれぞれx軸、y=-tanα軸上にある。x切片をx0,線分の傾きを-tanθとする。

y=-tanθ(x-x0)とy=−tanαxの交点を求めると

(tanα-tanθ)x1=-tanθx0

x0-x1=cosθに代入すると

x0(1+tanθ/(tanα-tanθ))=cosθ

x0((tanα)/(tanα-tanθ))=cosθ

x0=cosθ(1-tanθ/tanα)→α=π/2のとき、x0=cosθ

θで偏微分すると

x0’=-sinθ(1-tanθ/tanα)-cosθ(secθ)^2/tanα→α=π/2のとき、x0'=-sinθ

線分の方程式は

Y=-tanθ(X-x0)

θで偏微分すると

0=(X-x0)(secθ)^2-tanθx0’

(X-x0)(secθ)^2=tanθx0’

(X-x0)=(cosθ)^2tanθx0’→ α=π/2のとき、X=(cosθ)^3

Y=-tanθ(X-x0)=-tanθ(cosθ)^2tanθx0’→ α=π/2のとき、Y=(sinθ)^3

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tanα=Y/X

tanα/2=Y/X

を満たすθを求める。

  S=∫ydx=∫yx’dθ

  S=∫xdy=∫xy’dθ

  S=1/2∫(ydx-xdy)=1/2∫(yx’-xy’)dθ

tanα=Y/X→S1

tanα/2=Y/X→S2

とすると星状図形の面積は

4S2+2(n-2)S1

で与えられる。

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X=(cosθ)^2tanθx0’+x0

Y=-tanθ(X-x0)=-tanθ(cosθ)^2tanθx0’

X/Y=-1/tanθ-x0/(sinθ)^2x0’

x0’=-sinθ(1-tanθ/tanα)-cosθ(secθ)^2/tanα

x0=cosθ(1-tanθ/tanα)

x0'/x0=-tanθ-(secθ)^2/(tanα-tanθ)

解析的な計算は困難で、数値計算で求めるしかないようだ

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