■コペルニクスの逆定理(その47)

長さ1の線分の両端点がそれぞれx軸、y軸上にあるとき、その包絡線を求める。

線分の方程式は

x/cosθ+y/sinθ=1

包絡線を求めるにはまずθで偏微分して

x・sinθ/(cosθ)^2-y・cosθ/(sinθ)^2=0

連立方程式を解くと、xについて

  x=(cosθ)^3

yについて、

  y=(sinθ)^3

これはアステロイドである。以下の場合はどうだろう。

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[1]アステロイド

アステロイドの第1象限は針を90°回転させることができる。

同じものを2つ貼り合わせると完全に1回転させることができる。

[2]

120°で交わる2つの直線上で、針の両端を滑らせることによって得られる図形は針を60°回転させることができる。

この図形を3つ貼り合わせると5尖点図形が出来上がるが、この図形は完全に1回転させることができる。

[3]

135°で交わる2つの直線上で、針の両端を滑らせることによって得られる図形は針を45°回転させることができる。

この図形を4つ貼り合わせると7尖点図形が出来上がるが、この図形は完全に1回転させることができる。

[4]

144°で交わる2つの直線上で、針の両端を滑らせることによって得られる図形は針を36°回転させることができる。

この図形を5つ貼り合わせると9尖点図形が出来上がるが、この図形は完全に1回転させることができる。

[5]

150°で交わる2つの直線上で、針の両端を滑らせることによって得られる図形は針を30°回転させることができる。

この図形を6つ貼り合わせると11尖点図形が出来上がるが、この図形は完全に1回転させることができる。

この図形の面積は0.39140で、デルトイドより小さい。

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180-180/n°で交わる2つの直線上で、針の両端を滑らせることによって得られる図形は針を180/n°回転させることができる。

この図形をn個貼り合わせると2n-1尖点図形が出来上がるが、この図形は完全に1回転させることができる。

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