■コペルニクスの逆定理(その45)

長さ1の線分の両端点がそれぞれx軸、y軸上にあるとき、その包絡線を求める。

線分の方程式は

x/cosθ+y/sinθ=1

包絡線を求めるにはまずθで偏微分して

x・sinθ/(cosθ)^2-y・cosθ/(sinθ)^2=0

連立方程式を解くと、xについて

  x=(cosθ)^3

yについて、

  y=(sinθ)^3

これはアステロイドである。以下の場合はどうだろう。

===================================

θとαの向きをこれまでと逆にとるべきなのかもしれない

α=180/n°

===================================

α=180−180/n°で交わる2つの直線上で、針の両端を滑らせることによって得られる図形は針を180/n°回転させることができる。

この図形をn個貼り合わせると2n-1尖点図形が出来上がるが、この図形は完全に1回転させることができる。

長さ1の線分の両端点がそれぞれx軸、y=tanα軸上にある。線分の傾きを-tanθとする。

x0=cosθ-z0cosα=cosθ-sinθcotα→cosθ

y0=sinθ=z0sinα

θで偏微分すると

x0’=-sinθ+cosθcotα→-sinθ

y0’=cosθ

線分の方程式は

Y=-tanθ(X-x0)

θで偏微分すると

0=(X-x0)(secθ)^2-tanθx0’

(X-x0)(secθ)^2=tanθx0’

(X-x0)=(cosθ)^2tanθx0’→X=(cosθ)^3

Y=-tanθ(X-x0)=-tanθ(cosθ)^2tanθx0’→Y=(sinθ)^3

===================================