■コペルニクスの逆定理(その8)

  x=r1cosω1t+r2cosω2t

  y=r1sinω1t+r2sinω2t

は,ω2=−ω1のとき楕円を描きますが,

  ω1/ω2=k,r2/r1=|k|

という比をもつとき,kサイクロイドを描くことになります.

 kが無理数のときは代数的ではなく,半径がr1+r2,|r1−r2|の2つの円で囲まれた環状領域を埋めつくします.kが有理数のときは周期的となり,サイクロイドは代数曲線であることが証明されています.たとえば,アステロイドとネフロイドは6次曲線,カージオイドとデルトイドは4次曲線です. 

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【1】トロコイド曲線の符号

 回転子が原点を中心とする円周上を公転角α(反時計回り)で動き,中心の周りを自転角β(反時計回り)で回転する場合,

  x0=acosα,y0=asinα

  [x]=[cosβ,−sinβ][b]+[x0]

  [y] [sinβ, cosβ][0]+[y0]

より

  x=acosα+bcosβ

  y=asinα+bsinβ

が得られます.

もし,回転子の位相がπずれているならば,β→β+πですから

  x=acosα+bcos(β+π)=acosα−bcosβ

  y=asinα+bsin(β+π)=asinα−bsinβ

このことはb→−bとしても同じです

 エピサイクロイドでは、回転子の位相がπずれていて

  x=(n+1)rcosθ−rcos(n+1)θ

  y=(n+1)rsinθ−rsin(n+1)θ

で与えられます.

回転円の中心はa=n+1、b=1の円周上を動くというわけです

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 また,公転と自転の向きを逆方向にとる,すなわち,回転子が原点を中心とする円周上を公転角α(反時計回り)で動き,中心の周りを自転角β(時計回り)で回転する場合,

  x0=acosα,y0=asinα

  [x]=[cos(−β),−sin(−β)][b]+[x0]

  [y] [sin(−β), cos(−β)][0]+[y0]

より

  x=acosα+bcosβ

  y=asinα−bsinβ

もし,回転子の位相がπずれているならば,

  x=acosα−bcosβ

  y=asinα+bsinβ

 n個の尖点をもつハイポサイクロイドでは、回転子の位相がπずれていないので

  x=(n−1)rcosθ+rcos(n−1)θ

  y=(n−1)rsinθ−rsin(n−1)θ

回転円の中心はa=nー1、b=1の円周上を動くというわけです

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