ｘ＝ｒ1ｃｏｓω1ｔ＋ｒ2ｃｏｓω2ｔ

　　ｙ＝ｒ1ｓｉｎω1ｔ＋ｒ2ｓｉｎω2ｔ

は，ω2＝−ω1のとき楕円を描きますが，

　　ω1／ω2＝ｋ，ｒ2／ｒ1＝｜ｋ｜

という比をもつとき，ｋサイクロイドを描くことになります．

　ｋが無理数のときは代数的ではなく，半径がｒ1＋ｒ2，｜ｒ1−ｒ2｜の２つの円で囲まれた環状領域を埋めつくします．ｋが有理数のときは周期的となり，サイクロイドは代数曲線であることが証明されています．たとえば，アステロイドとネフロイドは６次曲線，カージオイドとデルトイドは４次曲線です．　

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【３】トロコイド曲線の係数

　ハイポサイクロイドではｍ＝ｎ−１，エピサイクロイドではｍ＝ｎ＋１とおくと，

　　ｘ＝ｍｃｏｓθ＋ｃｏｓｍθ

　　ｙ＝ｍｓｉｎθ＋ｓｉｎｍθ

と表されますが，ａ／ｂ比が整数とならないハイポ（エピ）トロコイド

　　ｘ＝ａｃｏｓα＋ｂｃｏｓβ

　　ｙ＝ａｓｉｎα＋ｂｓｉｎβ

の違いも代数曲線としての次数を決定するためには本質的なものでないことがわかります．

　係数の違いは周期の違いほど代数曲線としての次数に影響を与えるものではありませんが，まったく与えないかどうかについてはすぐには答えられません．たとえば，トロコイド曲線

　　ｘ＝ａｃｏｓθ＋ｃｃｏｓｎθ

　　ｙ＝ａｓｉｎθ＋ｃｓｉｎｎθ

とｂ≠ａ，すなわち，楕円上に中心をおき，円周上を回転する点の軌跡

　　ｘ＝ａｃｏｓθ＋ｃｃｏｓｎθ

　　ｙ＝ｂｓｉｎθ＋ｃｓｉｎｎθ

のような係数の違いが次数に影響を及ぼすかどうか？

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［問］楕円上に中心をおく円周上を回転する点の軌跡

　　ｘ＝２ｃｏｓθ＋ｃｃｏｓ３θ

　　ｙ＝　ｓｉｎθ＋ｃｓｉｎ３θ

の代数曲線としての次数？

［問］楕円上に中心をおく単振動する点の軌跡

　　ｘ＝２ｃｏｓθ

　　ｙ＝　ｓｉｎθ＋ｃｓｉｎ３θ

の代数曲線としての次数？

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