■コペルニクスの逆定理(その3)

 半径R=3rの円の円周上を半径rの円が滑らずに転がるとき,円上の固定点Pの最初の位置を(R,0)にとると,θだけ回転したときの点Pの座標は

  x=2rcosθ+rcos2θ

  y=2rsinθ−rsin2θ

で与えられます.この軌跡がデルトイドで,デルトイドは3つの尖点をもつ図形です.

 なお,n個の尖点をもつハイポサイクロイド

  x=(n−1)rcosθ+rcos(n−1)θ

  y=(n−1)rsinθ−rsin(n−1)θ

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 「コペルニクスの2円定理」により,半径2rの円が半径R=3rの円の内側を転がるとき,円上の固定された直径の描く包絡線はデルトイドになるわけですが,デルトイドの場合,この直径の両端も同じデルトイド上にあります.

[1]固定された大円(半径R)の内部に半径がr=2R/3の中円が入っているとする.中円が大きい円に内接し滑ることなく大きい円に沿って回転すると,動円上の定点はどのような軌跡を描くか?

(その2)の図ではデルトイドを描くように見えるが、中円が大きい円に内接し滑ることなく大きい円に沿って回転していることになる。

 また、これにより「デルトイドの接線が曲線に挟まれる部分の長さは一定である」という性質が生じます.これはデルトイドでは長さ4rの棒をデルトイドに接しながら1回転することができるというのと同一です.

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 デルトイドについて,これまで同じ曲線を描くために異なる定義があるのをみてきましたが,他のハイポサイクロイド,エピサイクロイドについてもみてみましょう.すると

(1)半径3rの円が半径R=4rの円の内側を転がるとき,円上の固定された正三角形の頂点の描く軌跡はアステロイドになる.

(2)半径3rの円が半径R=2rの円の外側を転がるとき,円上の固定された正三角形の頂点の描く軌跡はネフロイドになる.

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