■レイリーの定理とビーティー数列(その11)

  ak=[nτ]=1,3,4,6,8,9,11,・・・

  bk=[nτ^2]=2,5,7,12,13,15,18,・・・

  ck=[τ[nτ]]=1,4,6,9,12,14,17,・・・

  dk=[τ[nτ^2]]=3,8,11,16,21,24,29,・・・

  bk=[nτ^2]=2,5,7,12,13,15,18,・・・

とすると,

  ak=ck+dk

となって.bk,ck,dkの3系列は相補的数列であることが,スコレムによって証明されている.

  ak=[nτ]=1,3,4,6,8,9,11,・・・

  bk=[nτ^2]=2,5,7,12,13,15,18,・・・

は2群で排他的、2群併せて相補的であることは証明済み。

  ck=[τ[nτ]]=1,4,6,9,12,14,17,・・・

  dk=[τ[nτ^2]]=3,8,11,16,21,24,29,・・・

は2群で排他的、2群併せて相補的であることを証明したい。

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【補題】

f(n)=[nα]

g(n)=[nβ]

このとき

g(n)=f(f(n))+1は[nβ]=[α[nα]]+1が成り立つためには

α=τ、β=τ^2である。逆に、α=τ、β=τ^2ならば

[nβ]=[α[nα]]+1が成り立つ。

これは

  0<[nα^2]-α[nα]<1

に同値である。

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 さらに

  α=τ,β=τ^2=τ+1

  αβ=α+β,αβn=αn+βn

を満たすことから,

  [α[βn]]=[αn]+[βn]

が証明される

これは

  −1<[α[βn]]ー[αn]ー[βn]<1

に同値である。

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