ａk＝［ｎτ］＝１，３，４，６，８，９，１１，・・・

　　ｂk＝［ｎτ^2］＝２，５，７，１２，１３，１５，１８，・・・

　　ｃk＝［τ［ｎτ］］＝１，４，６，９，１２，１４，１７，・・・

　　ｄk＝［τ［ｎτ^2］］＝３，８，１１，１６，２１，２４，２９，・・・

　　ｂk＝［ｎτ^2］＝２，５，７，１２，１３，１５，１８，・・・

とすると，

　　ａk＝ｃk＋ｄk

となって．ｂk，ｃk，ｄkの３系列は相補的数列であることが，スコレムによって証明されている．

　　ａk＝［ｎτ］＝１，３，４，６，８，９，１１，・・・

　　ｂk＝［ｎτ^2］＝２，５，７，１２，１３，１５，１８，・・・

は2群で排他的、2群併せて相補的であることは証明済み。

　　ｃk＝［τ［ｎτ］］＝１，４，６，９，１２，１４，１７，・・・

　　ｄk＝［τ［ｎτ^2］］＝３，８，１１，１６，２１，２４，２９，・・・

は2群で排他的、2群併せて相補的であることを証明したい。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　数列｛ａn｝がビーティー数列ならば，ａnの値はａ1，ａ2，・・・，ａn-1の値から１以内の誤差で決定することができます．ａ1＋ａn-1，ａ2＋ａn-2，・・・，ａn-1＋ａ1の和はすべてｖまたはｖ＋１になるからです．また，この和がすべてｖならばａn＝ｖ＋１でなければなりません．もし，そうでなければビーティー数列ではないということになります．

　たとえば，ビーティー数列１，３，４，６，８，９，・・・において，ａ1＋ａ1＝２よりａ2は２または３（実際は３），ａ1＋ａ2＝４よりａ3は４または５３（実際は４），ａ1＋ａ3＝５，ａ2＋ａ2＝６よりａ4は６となります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【補題】

ｆ（ｎ）＝［ｎα］

ｇ（ｎ）＝［ｎβ］

このとき

ｇ（ｎ）＝ｆ（ｆ（ｎ））＋１は［ｎβ］＝［α［ｎα］］＋１が成り立つためには

α＝τ、β＝τ^2である。逆に、α＝τ、β＝τ^2ならば

［ｎβ］＝［α［ｎα］］＋１が成り立つ。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝