レイリーの定理とは「α，βを１／α＋１／β＝１を満たす無理数，［］をガウス記号とするとき，２つの数列｛ａn｝＝｛［ｎα］｝，｛ｂn｝＝｛［ｎβ］｝は共通項がなく，併せるとすべての整数１，２，３，・・・を与える．」というものです．

　α≦βとすると，仮定からαは区間（１，２）にあることがわかりますが，たとえば，

　　α＝（１＋√５）／２，β＝（３＋√５）／２＝α＋１＝α^2のとき，ａn，ｂnの値は

ｎ　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７　　８　　９　　10・・・

ａn 1　 3 4 6 8 9 11 12 14 16・・・

ｂn 2 5 7 10 13 15 18 20 23 26・・・

　２つの数列は共通項がなく，併せるとすべての整数１，２，３，・・・を与えるという意味がおわかり頂けると思います．

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　Ｗが正の無理数ならば、２つの数列

｛ａn｝＝[ｎ/ｗ]

｛ｂn｝＝[ｎ/（1-ｗ）]

をあわせるとあらゆる正の整数値をちょうど1回とる。

なぜなら、整数ｋが数列｛ａn｝の項であるならば

ｎ/ｗ-1＜ｋ＝[ｎ/ｗ]＜ｎ/ｗ

ｎ-ｗ＜ｋｗ＜ｎがあるｎに対して得られる。

一方、整数ｋが数列｛ｂn｝の項であるならば

ｎ＜ｋｗ＜ｎ＋１−ｗ

があるｎに対して得られる。これらは完全に相補的であるから、いずれか一方の項であることになる。

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