■x^2+y^2+z^2=n(その4)

 r=0,1,2,3,4,5,6,7  (mod8)

を考える。

このときr^2=0,1,4より、

  x^2+y^2+z^2≠8m+7

さらに4のベキをかけたとき、

  x^2+y^2+z^2≠4^k(8m+7)

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  x^2+y^2+z^2+mt^2 (m=1,2,3,4,5,6,7)

はすべての正整数を表すことができる

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(証)まず、表現されない最小の数は8k+7の形でなければならない

それからmt^2を引く。t=1,1,2,1,1,1,2とすると、それぞれ、

8k+6/8k+5/8k+3/8k+3/8k+2/8k+1/8k+3となるが、これらはすべてx^2+y^2+z^2の形に表現される。

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