ｒ＝０，１，２，３，４，５，６，７　　（mod８）

を考える。

このときｒ^2＝０，１，４より、

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2≠８ｍ＋７

さらに４のベキをかけたとき、

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2≠４^k（８ｍ＋７）

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　逆に、ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝ｎは

　　ｎ≠４^k（８ｍ＋７）

のときに限って解をもつ。

このことはすべての整数の

　　1/8+1/4・8+1/16・8+・・・=1/6

は、3つの平方数の和で表すことができないことを意味している。

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逆に、このことから、８ｎ＋３型の整数は3つの平方数の和として表される。そして、３つの平方数はすべて奇数でなければならない。

　　８ｎ＋３＝（２ｐ＋１）^2＋（２ｑ＋１）^2＋（２ｒ＋！）^2

そして、これより

　　ｎ＝ｐ（ｐ＋１）/２＋ｑ（ｑ＋１）/２＋ｒ（ｒ＋１）/２＝△＋△＋△

すなわち、どの正整数も３つの正整数の和として表される。

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