【１】ｐ進整数

　ｐ進整数ｘをｐのそれぞれのベキｐ^nについて、１個ずつ存在する互いに矛盾しない合同式

　　ｘ＝an (mod p^n)

の形式的な解として定義する。

互いに矛盾しないとは、例えば、

ｘ＝1 (mod 3)

ｘ＝7 (mod 9)

ｘ＝-2 (mod 27)

のように共通の解x=25をもつことを意味する。

このように定義したｐ進整数同士

　　ｘ＝an (mod p^n)

　　ｘ＝ｂn (mod p^n)

は環をなす。すなわち

　　ｘ＝an＋ｂn (mod p^n)

　　ｘ＝an-ｂn (mod p^n)

　　ｘ＝anｂn (mod p^n)

はｐ進整数である

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　x^2=-1を満たす5進整数も存在する。これを確かめるにはつぎのような数列{an}を考えればよい

　　2,7,57,182,・・・

この数列の各項の平方は

　　4,49,3249,33214,・・・

これらはそれぞれ5^1,5^2,5^3,5^4,・・・を法として-1に合同である。

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　一般に、分母がｐで割り切れないような任意の有理数r/sについて

　　ｘ＝an (mod p^n)

で

　　ｓｘ＝ｒ (mod p^n)

が同値であるようなｐ進整数ｘが存在する。 また、

　　ｘ＝an (mod p^n)

で

　　ｘ^2＝k (mod p^n)

が同値であるようなｐ進整数ｘが存在する。

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