■メルセンヌ数とフェルマー数(その5)

[Q]x0=m,mは2より大きい整数とする.このとき

   xn=(xn-1)^2−2,

の一般項を求めよ.

[A]α+1/α=m,α>1とすると,帰納法より

  xn=α^(2^n)+α^-(2^n)

 これはxn=[α^(2^n)]と等価である.

 たとえば,m=3のとき,

  α+1/α=3

  α^2−3α+1=0,α=(3+√5)/2=φ^2

  xn=[φ^(2^n+1)]

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[Q]y0=m,mは正の整数とする.このとき

   yn=2(yn-1)^2−1

の一般項を求めよ.

[A]2yn=(2yn-1)^2−2,2y0=2m

  α+1/α=2m,α>1とすると,帰納法より

  2yn=α^(2^n)+α^-(2^n)

 これはyn=[α^(2^n)/2]と等価である.

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 ここでは,

  gn+1=(gn)^2−2,g0=4

を考えるが,この場合,

  ω1=2+√3,ω2=2−√3

となって,2重指数型公式

  gn=ω1^(2^n)+ω2^(2^n)

が得られる.

 帰納法により

[1]n=0,g0=ω1+ω2=4

[2]gn=ω1^(2^n)+ω2^(2^n)が正しいとすると,

 (gn)^2−2=(ω1^(2^n)+ω2^(2^n))^2−2

=ω1^(2^n+1)+ω2^(2^n+1)+2(ω1ω2)^(2^n)−2

=ω1^(2^n+1)+ω2^(2^n+1)=gn+1

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[Q]x0=m,mは2より大きい整数とする.このとき

   xn=(xn-1)^2−2,

の一般項を求めよ.

[A]α+1/α=m,α>1とすると,帰納法より

  xn=α^(2^n)+α^-(2^n)

 これはxn=[α^(2^n)]と等価である.

 たとえば,m=3のとき,

  α+1/α=3

  α^2−3α+1=0,α=(3+√5)/2=φ^2

  xn=[φ^(2^n+1)]

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 α=2のとき,xn=[α^(2^n)]はフェルマー数になる.

  α+1/α=5/2=m→m=5/2とすればよい.

  α^2−5/2α+1=0,

  2α^2−5α+2=0,(α−2)(2α−1)=0

 x0=5/2=2.5

 xn=(xn-1)^2−2,

 x1=25/4−2=17/4=4.25

 x2=289/16−2=257/16=16.0625

 x3=289/16−2=66049/256−2=65537/256

=256.0039

 一般に,

  xn={2^(2^n+1)+1}/2^(2^n)

となるが,これを切り上げるとフェルマー数2^(2^n)+1となる.

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