■x^2+y^2=n(その13)

 フェルマーは

4k+1型素数は2つの平方和によって、しかも一いに表すことができることを証明した。

この結果を幾何学的に解釈すると、p=1(mod4)のとき

原点を中心とする半径√pの円を描くと、円周上には8個の格子点が存在することを意味している。

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 p=-1(mod4)のとき、解は存在しない。

 nが合成数の場合は、2とp=1(mod4)とq=-1(mod4)を区別しなければならない。

  n=2^αΠp^βΠq^γ

すべてのγが偶数のとき、x^2+y^2=nに対する解が存在する。

このとき(x、y)=1なる原始解の個数は順列を含め、

  Π(β+1)

である。

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例:325=5^2・13=1^2+18^2=6^2+17^2=10^2+15^2

=18^2+1^2=17^2+6^2=15^2+19^2

の6つの解をもつ。

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